Правило Лопіталя. Теореми Коші і Лагранжа, Детальна інформація

задовольняє умові теореми Лагранжа, та на графіку цієї функції знайдеться хоча б одна точка, в якій дотична до графіка паралельна хорді, що сполучає кінці кривої А (a;f(a)) i B(b;f(b)). Таких точок може бути і кілька, але хоча б одна завжди існує.

. У теоремі Лагранжа вказується лише на існування точки с, для якої справедлива формула, але використання цієї теореми у математичному аналізі надзвичайно широке.

миттєва швидкість неодмінно збігається із середньою швидкістю:

.

неодмінно знайдеться така швидкість S’(c), що коли її підтримувати сталою, то за той самий проміжок часу [t1;t2] точка пройде той самий шлях S(t2)-S(t1) , що і при русі із зміною швидкістю S’(t):



. Зрозуміло, що ці інтерпретації вірні лише тоді, коли закон руху S(t) задовольняє умови, які відповідають умовам теорем Ролля і Лагранжа.

Приклади.

має лише один дійсний корінь.



Знайдена суперечність показує, що припущення про існування ще одного кореня було хибним.

на відрізку [1;5]? При якому значенні с?

то теорема Ролля на цьому відрізку справджується.

Значення с знаходимо з рівняння f’(x)=2x-6=0, звідки с=3.

3. Крива у=х2-4х сполучає точки А(1;-3) і В(4;0). На дузі АВ знайти точку М0(х0; у0), в якій дотична паралельна хорді АВ.

для якої



де f’(x)=2x-4. Підставивши відповідні значення, дістанемо





Довести.

Необхідність була доведена в п.2.2

Тоді за теоремою Лагранжа.



.



5. Довести, що



тоді