Послідовності та їхні границі, Детальна інформація

Реферат на тему:

Послідовності та їхні границі

Означення. Послідовністю називається множина чисел {xn} =

= x1,x2,…,xn,…, яка підпорядковується певному закону.

Числова послідовість може бути як скінченною, так і нескінченною.

Приклади послідовностей.

1. {xn} = 0, 1, 4, 9, 16, …

Тут загальний член послідовності {xn} заданий формулою xn = n2.



xn - n-е за порядком просте число, тобто

x1=1; x2=2; x3=3; x4=5; x5=7; x6=11;…

Означення. Число A називається границею послідовності {xn}, якщо для довільного числа (>0 знайдеться такий номер N, починаючи з якого всі члени послідовності потрапляють у (-окіл числа A .

.

За допомогою кванторів \x2203 (“існує”) та \x2200 (“для всіх”) останнє означення можна записати так:

\x2261 (\x2200(>0)(\x2203N)(\x2200n)[n>N ( |A-xn| < (]

. Її границею є число 10. Зокрема, для (=0,1 номер N дорівнюватиме 10, оскільки

|A-x11|=|10-10-1/11|<0,1=(; |A-x12|=|10-10-1/12|<0,1=(; . . .

Для (=0,02 таким номером буде N=50 і так далі.

Послідовність xn=n2 границі не має. Не має границі також послідовність 1,1; 2,1; 1,01;2,01;1,001;…

Означення. Послідовність, яка має границю, називається збіжною. Послідовність, границею якої є число нуль, називається нескінченнно малою.

.., тобто xn - нескінченно мала послідовність.

Наведена нижче теорема описує властивості границь послідовностей.

, то послідовності {xn ± yn}, {xn ( yn} також є збіжними, причому

.

.

Приклади.

.

Це послідовність вигляду {xn(yn}. Згідно з теоремою

.

.