Поняття множини. Способи задання множин. Операції над множинами та їхні властивості. Підмножини, Детальна інформація

Кажуть, що множини A і B не перетинаються, якщо A(B = (.

Ai) містить тільки ті елементи, які одночасно належать кожній з множин Ai.

в). Різницею множин A і B (записується A\B ) називається множина тих елементів, які належать множині A і не належать множині B. Отже,



Приклад 1.5. {a,b,c} \ {a,d,c} = {b},

{a,c,d,e} \ {a,b,c} = {d,e},

{a,b} \ {a,b,c,d} = (.

г). Симетричною різницею множин A і B (записується A(B, A(B або A(B ) називається множина, що складається з усіх елементів множини A, які не містяться в B, а також усіх елементів множини B, які не містяться в A. Тобто



Приклад 1.6. {a,b,c}({a,c,d,e} = {b,d,e},

{a,b}( {a,b} = (.

Введені теоретико-множинні операції можна проілюструвати діаграмою (рис.1.1).

Тут множини A і B - це множини точок двох кругів.

Тоді A(B - складається з точок областей І, ІІ, ІІІ,

A(B - це область ІІ,

A \ B - область І,

B \ A - область ІІІ,

A(B - області І і ІІІ.



Рис. 1.1.

д). У конкретній математичній теорії буває зручно вважати, що всі розглядувані множини є підмножинами деякої фіксованої множини, яку називають універсальною множиною або універсумом і позначають через E (або U). Наприклад, в елементарній алгебрі такою універсальною множиною можна вважати множину дійсних чисел R, у вищій алгебрі - множину комплексних чисел C, в арифметиці - множину цілих чисел Z, в традиційній планіметрії - множину всіх точок площини або множину всіх геометричних об’єктів, тобто множину множин точок на площині тощо.

- називається множина всіх елементів універсальної множини, які не належать множині A.

Тобто

( x(A.

= E \ A.

множини P всіх парних натуральних чисел буде множина всіх непарних натуральних чисел.

Зазначимо у вигляді тотожностей властивості введених вище теоретико-множинних операцій.

1. Асоціативність (A ( B) ( C = A ( (B ( C); (A(B)(C = A((B(C).

2. Комутативність A ( B = B ( A; A(B = B(A.

3. Дистрибутивність A((B(C)=(A(B)((A(C); A((B(C)=(A(B)((A(C),