Зліченні множини, Детальна інформація

Реферат на тему:

Зліченні множини

Множина A рівнопотужна множині N натуральних чисел називається зліченною множиною.

Іншими словами, зліченна множина A - це така множина, всі елементи якої можна занумерувати числами 1,2,3,..., тобто можна вказати спосіб, за яким першому елементу множини A ставиться у відповідність число 1, другому - число 2, третьому - число 3 і т.д. Отже, будь-яку зліченну множину A можна подати у вигляді A = {a1,a2,a3,...,an,...}.

Неважко переконатись, що множини квадратів натуральних чисел, усіх парних чисел, усіх непарних чисел, чисел кратних деякому числу k, чисел, які закінчуються парою цифр 00 тощо є зліченними множинами.

Перейдемо до вивчення властивостей зліченних множин.

Теорема 1.2. Будь-яка нескінченна множина M містить зліченну підмножину.

Доведення. Оскільки M нескінченна множина, візьмемо два елементи a1,b1(M (a1(b1). Очевидно, множина M\{a1,b1} є нескінченною множиною. Тоді візьмемо наступні два нові елементи a2,b2(M \{a1, b1} (a2(b2 ) і т.д. Таким чином, ми виділимо з множини M дві зліченні множини A={a1,a2,...,an,...}(M і B={b1,b2,...,bn,...}(M. Це дозволяє підсилити формулювання теореми. А саме: будь-яка нескінченна множина M містить зліченну підмножину A і при цьому множина M \ A є нескінченною множиною (оскільки B (M \ A).

Теорема 1.3. Будь-яка підмножина зліченної множини є або скінченною, або зліченною множиною.

Доведення. Нехай A={a1,a2,...,an,...} - зліченна множина і B(A. Отже, B={a1,a2,...,ak,...} і можливі дві ситуації: або послідовність у фігурних дужках уривається на деякому елементі, тоді B - скінченна множина, або послідовність у дужках нескінченна, для якої, встановлюючи відповідність (l,al), l(N, одержуємо, що B - зліченна множина.

З теорем 1.2 і 1.3, зокрема, випливає, що зліченні множини є до певної міри найпростішими нескінченними множинами, бо, з одного боку, вони містяться в будь-якій нескінченній множині, а з другого - містять в собі тільки скінченні множини, або нескінченні множини, які є зліченними.

Теорема 1.4. Об’єднання скінченної або зліченної сукупності зліченних множин є зліченною множиною.

Доведення. Розглянемо спочатку скінченну сукупність зліченних множин {A1,A2,...,Ak}, де Ai={a1i,a2i,...,ani,...}, i=1,2,...,k. Запишемо всі елементи множин A1,A2,...,Ak в рядок таким чином: a11,a12,...,a1k,a21,a22,...,a2k,...,an1,an2,...,ank,....

Перенумеруємо записані елементи в порядку їх розташування в рядку. При цьому елемент, який вже одержав свій номер і повторно з'являється в рядку, з подальшої нумерації вилучається. В результаті кожен елемент об’єднання одержить свій номер, що і потрібно було довести.

У випадку зліченної сукупності множин Ai={a1i,a2i,...,ani,...}, i=1,2,..., перепишемо всі елементи множин Ai у такому порядку: a11,a12,a21,a13,a22,a31,a14,a23,a32,a41,....

Принцип переписування елементів множин A зображений за допомогою стрілок на рис.1.4.

a11, a21, a31, ..., an1,.... A1

( (

a12, a22, a32, ..., an2,.... A2

( (

a13, a23, a33, ..., an3,.... A3

(

a14, a24, a34, ..., an4,.... A4

...................................

Рис. 1.4.

Далі проводимо міркування аналогічні випадку скінченної сукупності множин. Теорему доведено.

З теореми 1.4 випливає низка цікавих наслідків.

Наслідок 1.4.1. Множина Z всіх цілих чисел зліченна.

Справді, подамо множину Z у вигляді Z = N ( {0} ( N'(, де N'( = { -1,-2,-3,... } - множина від’ємних цілих чисел, яка, очевидно, є зліченною.

Числова множина W називається щільною, якщо для будь-якої пари чисел a,b(W (a