Кардинальні числа, Детальна інформація

Отже, (A \ A1) ~ (A2 \ A3 ) ~ (A4 \ A5 ) ~...~ (A2k \ A2k+1) ~ (A2k+2 \ A2k+3) ~....

Оскільки рівнопотужні множини (A \ A1), (A2 \ A3 ), (A4 \ A5 ),..., (A2k \ A2k+1),... попарно не перетинаються, то множини

C1 = (A \ A1) ( (A2 \ A3 ) ( (A4 \ A5 ) (... ( (A2k \ A2k+1)...,

C2 = (A2 \ A3 ) ( (A4 \ A5 ) ( (A6 \ A7 ) (... ( (A2k+2 \ A2k+3)...

також рівнопотужні, тобто C1 ~ C2.

Позначимо через D = A(A1(A2(A3(...(An(....

Неважко переконатись, що

A = D ( (A \ A1) ( (A1 \ A2 ) ( (A2 \ A3 ) (... ( (An \ An+1)...,

A1 = D ( (A1 \ A2 ) ( (A2 \ A3 ) (... ( (An \ An+1)...,

Нехай D0 = D ( (A1 \ A2 ) ( (A3 \ A4 ) (... ( (A2k+1 \ A2k+2)...,

тоді попередні співвідношення можна подати у вигляді:



"

Oe

O

<

>

D

0

AE

D

F

-(A \ A1) ( (A2 \ A3 ) ( (A4 \ A5 ) (... ( (A2k \ A2k+1)...] = D0 (C1,

A = D0 ( [(A2 \ A3 ) ( (A4 \ A5 ) ( (A6 \ A7 ) (... ( (A2k+2 \ A2k+3)...] = D0 (C2.

Оскільки між множинами C1 і C2 існує взаємно однозначна відповідність g, а D0(C1=( і D0(C2=(, то iD0 ( g є взаємно однозначною відповідністю між A і A1, отже, A~A1. Через iD0(D0(D0 позначено тотожню взаємно однозначну відповідність між елементами множини D0 : iD0 = { (d,d) | d(D0 }.

З умови теореми B ~ A1, одержаного співвідношення A~A1 і властивостей симетричності і транзитивності відношення рівнопотужності маємо B ~ A.

Теорема доведена.

Наслідок 1. Якщо виконуються включення A2(A1(A і A2~A (|A2|=|A |), то

A1 ~ A (|A1|=|A|).

Справедливість твердження випливає з того, що A ~ A2(A1 і A1~A1(A.