Кардинальні числа, Детальна інформація

Наслідок 2. Якщо A(B, то |A| ( |B|.

Для кардинальних чисел зліченних і континуальних множин, враховуючи їхню поширеність і популярність в сучасній математиці, введені спеціальні позначення. Так кардинальне число множини N всіх натуральних чисел, а значить, і будь-якої зліченної множини позначають через (0 (читається "алеф-нуль"). Кардинальне число континуальних множин позначають через c або (1 ("алеф-один"). Якщо порівняти доведення теорем 1.1 і 1.7, то неважко помітити аналогію у встановленні взаємно однозначної відповідності між підмножинами множини A і двійковими послідовностями (скінченними в теоремі 1.1 і нескінченними в теоремі 1.7). Враховуючи цю аналогію, часто записують співвідношення |((A)| =2|A| як для скінченних, так і для нескінченних множин. Зокрема, за теоремою 1.7 (1 =2(0.

Наступне питання, яке виникло в теорії множин: чи існує найбільше кардинальне число, тобто, чи існує множина найбільшої потужності? Негативну відповідь на це питання дає наступна важлива теорема, доведення якої належить Г.Кантору.

Теорема 2. Потужність множини ((A) підмножин будь-якої непорожньої множини A більша, ніж потужність даної множини A: | ((A)| > |A|.

Доведення. Оскільки існує тривіальна взаємно однозначна відповідність f між множиною A і підмножиною множини ((A): f = { (a,{a}) | a(A, {a}(((A)}, то достатньо довести, що множини A і ( (A) нерівнопотужні.

Доведення проведемо від супротивного. Припустимо, що існує взаємно однозначна відповідність g між множинами A і ((A): g = { (b,B) | b(A і B(((A)}. У кожній парі відповідності перша координата b - це елемент множини A, а друга координата B - деяка підмножина множини A. Тому для кожної пари (b,B)(g виконується одне з двох співвідношень: або b(B, або b(B. Побудуємо нову множину K = { b | b(A і b(B для (b,B)(g }.

З того, що ((( (A) випливає, що K ((.

Оскільки K є підмножиною множини A (K(((A)), то при взаємно однозначній відповідності g підмножина K відповідає деякому елементові k(A, тобто існує пара (k,K)(g. Тоді відносно елемента k(A і підмножини K(A можливі дві ситуації: або k(K, або k(K.

Нехай k(K, тоді з умови (k,K)(g і правила побудови множини K випливає, що k(K.

З іншого боку, якщо припустити, що k(K, то з (k,K)(g і правила побудови множини K повинно виконуватись k(K.

Одержана суперечність доводить неможливість встановлення взаємно однозначної відповідності між A і ((A). Таким чином, |A| < | ( (A)|.

Наслідок 1.9.1. Не існує множини, яка має найбільшу потужність, тобто не існує найбільшого кардинального числа.

Справді, розглянувши множини N, ((N), ((((N)),..., одержимо нескінченно зростаючу послідовність відповідних кардинальних чисел (0 ,(1 =2(0,(2 =2(1, ...

На закінчення зупинимось ще на одній цікавій класичній проблемі теорії множин, сформульованій ще у 1884 році Г.Кантором:

гіпотеза континуума, яка стверджує, що не існує множини, кардинальне число ( якої розташоване між (0 і (1, тобто (0 < ( < (1.

Ця гіпотеза припускає узагальнення, яке носить назву узагальненої гіпотези континуума:

для довільного кардинального числа ( деякої нескінченної множини з нерівності ( ' > ( для будь-якого кардинального числа ( ' випливає ( ' > 2(.

Проблему гіпотези континуума майже вісім десятків років намагалися розв’язати найкращі математики світу. I лише у 1963 році тридцятирічний американський математик Пол Коен довів, що гіпотезу континуума не можна ні довести, ні спростувати, виходячи з аксіом теорії множин. Отже, прийняття або відхилення гіпотези континуума є однаково законними, що веде до можливості побудови двох різних несуперечливих теорій множин.