Відношення. Властивості відношень, Детальна інформація

f

h

j

‚

„

’

”

–

\x02DC

\x017E

 

c

¤

,

>

F

T

5 aiRaj. Зокрема, якщо aiRai, то відповідна стрілка, що веде з ai в ai, називається петлею.

Оскільки відношення на M є підмножинами множини M 2, то для них означeні всі відомі теоретико-множинні операції. Наприклад, перетином відношень "більше або дорівнює" і "менше або дорівнює" є відношення "дорівнює", об’єднанням відношень "менше" і "більше" є відношення "не дорівнює", доповненням відношення "ділиться на" є відношення "не ділиться на" тощо.

Аналогічно відповідностям для відношень можна означити поняття оберненого відношення і композиції відношень.

Відношення R-1 називається оберненим до відношення R, якщо bR-1a тоді і тільки тоді, коли aRb. Очевидно, що (R-1)-1=R. Наприклад, для відношення "більше або дорівнює" оберненим є відношення "менше або дорівнює", для відношення "ділиться на" - відношення "є дільником".

Композицією відношень R1 і R2 на множині M (позначається R1(R2 ) називається відношення R на M таке, що aRb тоді і тільки тоді, коли існує елемент c(M, для якого виконується aR1c і cR2b. Наприклад, композицією відношень R1 - "є сином" і R2 - "є братом" на множині чоловіків є відношення R1(R2 - "є небожем".

Наведемо список важливих властивостей, за якими класифікують відношення.

Нехай R - деяке відношення на множині M.

а). Відношення R називається рефлексивним, якщо для всіх a(M має місце aRa.

Очевидно, що відношення R1,R2,R4,R5,R7 - рефлексивні.

б). Відношення R називається антирефлексивним (іррефлексивним), якщо для жодного a(M не виконується aRa.

Відношення "більше", "менше", "є сином" антирефлексивні. В той же час, відношення R6 не є ні рефлексивним, ні антирефлексивним.

Всі елементи головної діагоналі матриці C для рефлексивного відношення на скінченній множині M дорівнюють 1, а для антирефлексивного відношення дорівнюють 0.

в). Відношення R називається симетричним, якщо для всіх a,b(M таких, що aRb маємо bRa.