Відношення. Властивості відношень, Детальна інформація

г). Відношення R називається антисиметричним, якщо для всіх a,b(M таких, що aRb і bRa маємо a = b.

Наприклад, відношення R3,R4,R5,R6,R8 - симетричні, а відношення R1,R2,R7 - антисиметричні.

Неважко переконатись, що відношення R симетричне тоді і тільки тоді, коли R=R-1.

д). Відношення R називається транзитивним, якщо зі співвідношень aRb і bRc випливає aRc.

Наприклад, відношення R1,R2,R4,R5,R7,R8,R9 - транзитивні, а відношення R3,R6 - не транзитивні.

Неважко переконатись, що відношення R транзитивне тоді і тільки тоді, коли R(R(R.

Зауважимо, якщо відношення R має будь-яку з перерахованих вище властивостей, то обернене відношення R-1 також має ту саму властивість. Таким чином, операція обернення зберігає всі п'ять властивостей відношень.

Для довільного відношення R означимо нову операцію. Відношення R* називається транзитивним замиканням відношення R на M, якщо aR*b, a,b(M, тоді і тільки тоді, коли у множині M існує послідовність елементів a1,a2,...,an така, що a1 = a, an = b і a1Ra2, a2Ra3,...,an-1Ran.

Наприклад, нехай M - це множина точок на площині і aRb, a,b(M, якщо точки a і b з'єднані відрізком. Тоді cR*d, c,d(M, якщо існує ламана лінія, яка з'єднує точки c і d.

Можна довести, що відношення R транзитивне тоді і тільки тоді, коли R*=R.

Деякі відношення займають особливе місце в математиці. Розглянемо ці відношення окремо.