Векторна алгебра і деякі її застосування, Детальна інформація

Упорядкована пара чисел (х,у), що відповідає точці М площини х0у, називається декартовими прямокутними координатами точки М, це позначають М(х,у).

Упорядкована трійка чисел (х,у,z), що відповідає точці М простору 0zух, називається координатами точки М декартової прямокутної системи координат у просторі, це позначають М(х,у,z).

Відмітимо, що існують інші системи координат на площині та у просторі.

та вісь l. З точок А і В опускаємо перпендикуляри на вісь l. Одержимо точки А1 та В1 – проекції точок А та В.

співпадає з напрямом осі та із знаком “-“, якщо напрями протилежні (див. Мал.4).

.

Означення 3. Кутом між двома векторами (або між вектором та віссю) називають найменший кут між їх напрямами при умові, що вектори зведені до спільного початку (див. Мал.4).

а) b)

Мал.4.

:



У випадку b) маємо:



Таким чином, проекція вектора на вісь дорівнює добутку довжини вектора на косінус кута між вектором і віссю.

Означення 4. Координатами називаються проекції вектора на осі координат.

тоді

,

. З попередніх формул маємо:



, де М1(х1,y1) – початок вектора, М2(х2,y2) – кінець вектора (див.Мал.5). в цьому випадку



- це впорядкована пара чисел (х2 – х1; y2 – y1).

у просторі буде впорядкована трійка чисел (х2 – х1; y2 – y1; z2 – z1).

Мал.5

Отже, можна сформулювати правило:

дорівнюють різниці відповідних координат кінця та початку вектора.

, початок якого знаходиться в точці М1(2,-3,0), кінець – в точці М2(1,1,2), має координати

= (1-2; 1+3; 2-0) = (-1; 4; 2)

співпадають з координатами точки А.

вектор-рядок та вектор-стовпець, які містять n елементів, розглядають як вектори їз n вимірного простору Еn, а їх елементи називають координатами вектора.