Лінійні різницеві рівняння із сталими коефіцієнтами. Задача Коші, Детальна інформація

Розв’язати рівняння:



Розв’язання:

Загальний розв’язок дістанемо за формулою 3:

.

Неоднорідні диференціальні рівняння із сталими коефіцієнтами. Рівняння із спеціальною правою частиною.

Розглянемо неоднорідне диференціальне рівняння

4

.

Загальний розв’язок такого рівняння являє собою суму частинного

розв’язку рівняння 4 і загального розв’язку відповідного однорідного рівняння. Розглянемо питання про знаходження частинного розв’язку неоднорідного рівняння.

Насамперед слід зазначити , що частинний розв’язок диференціального неоднорідного рівняння 4 можна знайти в квадратурах методом варіації довільних сталих. Проте для рівнянь із спеціальною правою частиною розв’язок можна знайти значно простіше, не вдаючись до операції інтегрування.

Розглянемо деякі з таких рівнянь.

І. Нехай права частина в рівнянні 4 має вигляд

, 5

.

Можливі такі випадки:

не є коренем характеристичного рівняння

6 Тоді диференціальне рівняння 4 має частинний розв’язок виду

- невизначені коефіцієнти.

дістанемо

.

цього рівняння;

збігається з одним коренем характеристичного рівняння 6, тобто є простим коренем цього рівняння, то частинний розв’язок рівняння 4 треба шукати у вигляді

; 9

є двократним коренем рівняння 6 , то частинний розв’язок рівняння 4 шукають у вигляді

.

Об’єднаємо випадки а)-в): якщо права частина рівняння 4 має вигляд 5, то частинний розв’язок цього рівняння треба шукати у вигляді

,

.