Символи Лежандра та Якобі, Детальна інформація

Реферат на тему:

Символи Лежандра та Якобі

визначається так:



\xF0BA\xF020\xF02D1 (mod p).

1 (mod p) при НСД(a, p) = 1 та НСД(2, p) = 1. Або:

0 mod p

\xF0BA -1 mod p.

(mod p) \xF0BA -1, звідки і випливає твердження.

5 (mod 7).

Якщо існує розв’язок рівняння, то число 5 повинно бути квадратичним лишком за модулем 7. Перевіримо це за критерієм Ейлера:

\xF0BA 53 (mod 7) \xF0BA 25 * 5 (mod 7) \xF0BA 4 * 5 (mod 7) \xF0BA 20 (mod 7) \xF0BA -1 (mod 7). Звідси випливає, що 5 є квадратичним нелишком за модулем 7 і рівняння розв’язків не має.

Властивості символа Лежандра.

(mod p). Вказана властивість є наслідком критерія Ейлера.

.

якщо p \xF0BA 3 (mod 4).

. Властивість випливає з послідовності очевидних порівнянь:

(mod p).

.

Z.

1 (mod p) завжди має розв’язки x = ± 1 (mod p).

.

= 8k2 ± 2k – парне число.

= 8k2 ± 6k + 1 – непарне число.

3 або 5 (mod 8).

6. Закон взаємності непарних простих чисел. Якщо p – просте непарне число, відмінне від q, то

.

.

Символ Якобі є узагальненням символу Лежандра на випадок коли n є непарним, але не обовя’язково простим.

визначається так: