Принцип максимума і оптимальне керування динамічною системою В. Леонтьєва, Детальна інформація

Реферат на тему:

Принцип максимума і оптимальне керування динамічною системою В. Леонтьєва



Pозглядається відкрита динамічна система ( модель) В. Леонтьєва стан якої в кожен момент часу t визначається n- вимірним вектором

х(t)= (x1(t),x2(t),…,xn(t)), який характеризує валовий випуск економіки з n галузями. Збалансована система динамічних рівняннь “витрат-випуску”

В. Леонтьєва має вигляд

[ d o ( t) / d t ) ] = o ( t ), (1 )

=( bij )- n ( n – матриця яка характеризує структуру основного капіталу, основних фондів; y (t)- вектор кінцевого попиту ( вектор споживання) [1].

Динамічна модель витрат- випуску (1) може бути представлена як система керування [2]

= Аx (t) +В u ( t ) , ( 2 )

при якому система ( 2 ) переходить із заданого початкового стану x(t0)=x0 в заданий кінцевий (запланований) стан x(t1)=x1 за час Т=t1-t0. При цьому випуклий функціонал - інтеграл достатку

( 3)

є множник дисконтинування, який свідчить про те, що негайне споживання важливіше ніж в майбутньому, W(u(t))- функція корисності [ 3 ].

Таким чином, керована динамічна система В. Леонтьєва дозволяє дати прогноз розвитку всіх галузей економіки так, щоб за певний період часу досягти заданого рівня їх росту.

Покладемо

( 4 )

-деякі задані додатні числа.

загального вигляду

, ( 5 )

i=1,…,n.

вектор початкових умов.

i=1,…,n,то вона набуває вигляду (5) з правими частинами



. ( 6 )

При цьому споживання у(t)=u(t) невід’ємне і не перевищує випуск.



Розглянемо функціонал

( 7 )

- множники Лагранжа, які визначаються граничними умовами на правому кінці фазової траекторії.

-допоміжні змінні що задовільняють систему рівняннь