Застосування подвійних інтегралів до геометричних і фізичних задач. Обчислення інтеграла Пуассона, Детальна інформація

Пошукова робота на тему:

Застосування подвійних інтегралів до геометричних і фізичних задач. Обчислення інтеграла Пуассона.

План

Застосування подвійних інтегралів до геометричних і фізичних задач

Маса пластинки

Статичні моменти і центр ваги пластинки

Момент інерції пластинки

Обчислення інтеграла Пуассона

11.5.  Застосування подвійних інтегралів

до задач механіки

. Товщину пластинки вважаємо настільки малою, що зміною густини та товщиною можна знехтувати.

            Поверхневою густиною такої пластинки в даній точці називається границя відношення маси площадки до її площі за умови, що площадка стягується до даної точки.

 у вибраній точці. Тоді для маси пластинки можна скласти приблизний вираз у вигляді інтегральної суми.

.                            

 і кожна елементарна область стягується в точку, дістаємо формулу для обчислення маси пластинки:

 .                      (11.29)





                                          Рис.11.16

 маси відповідних елементарних областей, то статичні моменти отриманої системи матеріальних точок можна записати так:

.

,  

.                         (11.30)

            Як і у випадку означеного інтеграла, знаходимо координати центра ваги пластинки:

, 

.                      (11.31)

від цієї осі.

            Метод складання виразів для моментів інерції пластинки відносно осей координат такий самий , як і для обчислення статичних моментів. Тому наведемо лише формули для моментів інерції відносно координатних осей:

 (11.32)