Інтегрування правильних дробів, раціональних дробів, ірраціональостей, Детальна інформація

Реферат з математики

Інтегрування правильних дробів, раціональних дробів, ірраціональостей.

Означення 3. Дріб називається раціональним, якщо його чисельник та знаменник є многочленами. Тобто дріб має вигляд:



де a1 та bk – коефіцієнти многочленів, i = 1,2…,n; k = 1,2…,m.

.

дріб неправильний, тоді треба поділити чисельник на знаменник (за правилом ділення многочленів) і одержати заданий дріб у вигляді суми многочлена та правильного раціонального дробу, тобто



Означення 4. Найпростішими раціональними дробами І, II, III та IV типу називаються правильні дроби вигляду:





означає, що квадратний тричлен х2 + рх + q немає дійсних коренів і на множники не розкладається. Те саме можна сказати і про квадратний тричлен х2 + rx + s.

Розглянемо інтегрування найпростіших раціональних дробів. Інтеграли від найпростіших раціональних дробів 1-го та II-го типів знаходять методом безпосереднього інтегрування:





При інтегруванні найпростішого дробу III типу треба спочатку в знаменнику виділити повний квадрат, а потім той вираз, що під квадратом, замінити через нову змінну.









одержимо:





Інтеграл від найпростішого дробу IV типу шляхом повторного інтегрування частинами зводять до інтеграла від найпростішого дробу III типу.

Теорема 2. Будь-який правильний раціональний дріб розкладається на суму найпростіших раціональних дробів, коефіцієнти яких можна знайти методом невизначених коефіцієнтів.

) та суми найпростіших раціональних дробів. Зазначимо, що вигляд найпростіших дробів, визначається коренями знаменника Qm(x). Можливі слідуючі випадки:

1. Корені знаменника дійсні та різні, тобто

Qm(x) = (x-a1)(x-a2)...(x-am)

розкладається на суму найпростіших дробів 1-го типу:

(5)