Задача Коші. Лінійні диференціальні рівняння із сталими коефіцієнтами. Загальний та частинний розв’язки, Детальна інформація
Задача Коші. Лінійні диференціальні рівняння із сталими коефіцієнтами. Загальний та частинний розв’язки
де p, q –дійсні числа.
Ейлер запропонував шукати частинні розв’язки цього рівняння у вигляді
(2)
де k – стала (дійсна чи комплексна), яку треба знайти. Підставивши функцію (2) в рівняння (1) дістанемо
, то
(3)
Отже, якщо k буде коренем рівняння (3), то функція (2) буде розв’язком рівняння (1). Квадратне рівняння (3) називається характеристичним рівнянням диференціального рівняння (1).
Позначимо корені характеристичного рівняння через k1 і k2 . Можливі три випадки:
);
;
ІІІ. k1 і k2 – дійсні і рівні числа ( k1=k2).
Розглянемо кожен випадок окремо.
. У цьому випадку частинними розв’язками рівняння (1) є функції
Згідно з теоремою 4 загальний розв’язок рівняння (1) знаходять за формулою
(4)
ІІ. Корені характеристичного рівняння комплексно-спряжені:
у формулу (2), знайдемо розв’язки
За формулою Ейлера
маємо
є розв’язком рівняння (1), то розв’язками будуть також функції u(x) та v(x). Дійсно, підставивши функцію z(x) в рівняння (1), дістанемо:
Або
Ейлер запропонував шукати частинні розв’язки цього рівняння у вигляді
(2)
де k – стала (дійсна чи комплексна), яку треба знайти. Підставивши функцію (2) в рівняння (1) дістанемо
, то
(3)
Отже, якщо k буде коренем рівняння (3), то функція (2) буде розв’язком рівняння (1). Квадратне рівняння (3) називається характеристичним рівнянням диференціального рівняння (1).
Позначимо корені характеристичного рівняння через k1 і k2 . Можливі три випадки:
);
;
ІІІ. k1 і k2 – дійсні і рівні числа ( k1=k2).
Розглянемо кожен випадок окремо.
. У цьому випадку частинними розв’язками рівняння (1) є функції
Згідно з теоремою 4 загальний розв’язок рівняння (1) знаходять за формулою
(4)
ІІ. Корені характеристичного рівняння комплексно-спряжені:
у формулу (2), знайдемо розв’язки
За формулою Ейлера
маємо
є розв’язком рівняння (1), то розв’язками будуть також функції u(x) та v(x). Дійсно, підставивши функцію z(x) в рівняння (1), дістанемо:
Або
The online video editor trusted by teams to make professional video in
minutes
© Referats, Inc · All rights reserved 2021