Інтегрування раціональних дробів та виразів, що містять ірраціональності, Детальна інформація

Реферат на тему:

1. Інтегрування раціональних дробів та виразів, що містять ірраціональності.

Означення 1. Дріб називається раціональним, якщо його чисельник та знаменник є многочленами, тобто дріб має вигляд



де аі та bk — коефіцієнти многочленів, і = 0, 1, ..., n;

k = 0, 1, 2, ..., m.

.

дріб неправильний, тоді треба поділити чисельник на знаменник (за правилом ділення многочленів) і одержати заданий дріб у вигляді суми многочлена та правильного раціонального дробу, тобто



Означення 2. Найпростішими раціональними дробами І, II, III та IV типу називають правильні дроби вигляду:







означає, що квадратний тричлен х2 + px + q не має дійсних коренів і на множники не розкладається. Те саме можна сказати і про квадратний тричлен x2 + rx + s.

Розглянемо інтегрування найпростіших раціональних дробів. Інтеграли від найпростіших раціональних дробів 1-го та ІІ-го типів знаходять методом безпосереднього інтегрування:





При інтегруванні найпростішого дробу ІІІ-го типу треба спочатку в знаменнику виділити повний квадрат, а потім той вираз, що під квадратом, замінити через нову змінну.









одержимо:





Інтеграл від найпростішого дробу типу IV шляхом повторного інтегрування частинами зводять до інтеграла під найпростішого дробу типу III.

У повному курсі вищої алгебри доведена слідуюча теорема.

Теорема 1. Будь-який правильний раціональний дріб розкладається на суму найпростіших раціональних дробів, коефіцієнти яких можна знайти методом невизначених коефіцієнтів.

) та суми найпростіших дробів. Відмітимо, що вигляд найпростіших дробів визначається коренями знаменника Qm(x). Можливі слідуючі випадки:

1. Корені знаменника дійсні та різні, тобто