Лінійні диференціальні рівняння вищих порядків, Детальна інформація

-раз , одержимо



.

.

лінійної однорідної системи алгебраїчних рівнянь.



з отриманими коефіцієнтами.

, розв’язок буде задовольняти умовам



, що і було потрібно довести .

На підставі попередніх двох теорем сформулюємо необхідні і достатні умови лінійної незалежності розв’язків лінійного однорідного рівняння.

.

Теорема. Загальним розв’язком лінійного однорідного рівняння



.

є розв’язками, то в силу третьої властивості їхня лінійна комбінація також буде розв’язком.

можна розв’язати довільну задачу Коші



Дійсно, оскільки система розв’язків лінійно незалежна, то визначник Вронського відмінний від нуля й алгебраїчна система неоднорідних рівнянь



є розв’язком, причому, як видно із системи алгебраїчних рівнянь, буде задовольняти довільно обраним умовам Коші.

Властивість. Максимальне число лінійно незалежних розв’язків дорівнює порядку рівняння.

- лінійно незалежних розв’язків.

-го порядку називаються фундаментальною системою розв’язків.