Системи лінійних диференціальних рівнянь. Загальні положення, Детальна інформація

Дійсно, за умовою

.

Але тоді і



є розв’язком однорідної системи.

є розв’язком однорідної системи, то окремо дійсна та уявна частини є розв’язками системи.

Дійсно за умовою



Розкривши дужки і зробивши перетворення, одержимо



А комплексний вираз дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли дорівнюють нулю дійсна і уявна частини, тобто



що і було потрібно довести.

.

, то вектори лінійно незалежні.

Визначення 2. Визначник, що складається з векторів

, тобто



називається визначником Вронського.

лінійно залежні, то визначник Вронського тотожно дорівнює нулю.

.

Або, розписавши покоординатно, одержимо

.

тоді і тільки тоді, коли визначник дорівнює нулю, тобто

.

.

.

Тоді система однорідних алгебраїчних рівнянь



. Розглянемо лінійну комбінацію розв’язків з отриманими коефіцієнтами