Системи лінійних диференціальних рівнянь. Загальні положення, Детальна інформація

.

, або

,

лінійно залежні, що суперечить умові теореми.

, що і було потрібно довести.

.

Доведення. Випливає з попередніх двох теорем.

Теорема 4. Загальний розв’язок лінійної однорідної системи представляється у вигляді лінійної комбінації п -лінійно незалежних розв’язків.

або в координатній формі:

.

лінійно незалежні, то визначник Вронського відмінний від нуля. Отже, система алгебраїчних рівнянь



.

Тоді лінійна комбінація



є розв’язком поставленої задачі Коші. Теорема доведена.

Властивість 1. Максимальне число незалежних розв’язків дорівнює кількості рівнянь.

лінійно незалежних розв’язків.

-лінійно незалежних розв’язків, називається фундаментальною матрицею розв’язків системи.

Якщо лінійно незалежними розв’язками будуть

,

то матриця



буде фундаментальною матрицею розв’язків.

Як випливає з попередньої теореми загальний розв’язок може бути представлений у вигляді

,

.

2. Формула Якобі

- визначник Вронського. Обчислимо похідну визначника Вронського