Існування та єдиність розв’язків диференціальних рівнянь першого порядку. Неперервна залежність та диференційованість, Детальна інформація

Реферат на тему:

Існування та єдиність розв’язків диференціальних рівнянь першого порядку. Неперервна залежність та диференційованість

Клас диференціальних рівнянь, що інтегруються в квадратурах, досить невеликий, тому мають велике значення наближені методи розв’язку диференціальних рівнянь. Але, щоб використовувати ці методи, треба бути впевненим в існуванні розв’язку шуканого рівняння та в його єдиності.

Зараз значна частина теорем існування та єдиності розв’язків не тільки диференціальних, але й рівнянь інших видів доводиться методом стискуючих відображень.

, що задовольняє аксіомам:

;

(комутативність);

(нерівність трикутника).

).

.

.

. За метрику можна взяти



.

.

, що задовольняє умовам.

.

є оператором стиску, тобто

.

, вибирається довільно.

. Покажемо, що побудована послідовність є фундаментальною. Дійсно



-разів правило трикутника, отримуємо



.

.

. Оцінимо кожний з доданків.

.

.