Системи лінійних однорідних диференціальних рівнянь з сталими коефіцієнтами, Детальна інформація

Реферат на тему:

Системи лінійних однорідних диференціальних рівнянь з сталими коефіцієнтами

Система диференціальних рівнянь вигляду



- сталі величини, називається лінійною однорідною системою з сталими коефіцієнтами. У матричному вигляді вона записується

.

1. Розв’язування систем однорідних рівнянь з сталими коефіцієнтами методом Ейлера.

Розглянемо один з методів побудови розв’язку систем з сталими коефіцієнтами.

Розв’язок системи шукаємо у вигляді вектора

.

Підставивши в систему диференціальних рівнянь, одержимо



, і перенісши всі члени вправо, запишемо



Отримана однорідна система лінійних алгебраїчних рівнянь має розв’язок тоді і тільки тоді, коли її визначник дорівнює нулю, тобто

.

Це рівняння, може бути записаним у векторно-матричній формі



і воно називається характеристичним (чи віковим) рівнянням. Розкриємо його

.

-коренів. Розглянемо різні випадки.

) дійсні і різні. Підставляючи їх по черзі в систему алгебраїчних рівнянь



одержуємо відповідні ненульові розв’язки системи



.

- розв’язків

...

- лінійно незалежні, і загальний розв’язок системи має вигляд

.