Метод розкладу визначника в суму визначників, Детальна інформація

Реферат на тему:

Метод розкладу визначника в суму визначників

В основі методу знаходиться властивість 6 визначників. Якщо деякий рядок (стовпчик) визначника є сумою двох рядків (стовпчиків), то визначник можна розкласти за даним рядком (стовпчиком) в суму двох визначників. Наприклад, нехай у визначнику i–й рядок є сумою двох рядків, тоді виконується



Аналогічно, якщо деякий рядок (стовпчик) визначника є сумою k рядків (стовпчиків), то визначник можна розкласти за даним рядком (стовпчиком) в суму k визначників.

В деяких випадках визначник можна розкласти в суму двох або більшого числа визначників, яки неважко обчислити.

Приклад 15. Обчислити визначник

.

Розв’язування. Зрозуміло, що порядок визначника дорівнює n+1 (у першому стовпчику n+1 елементів). Елемент визначника (, що знаходиться на місці (1,1) можна подати в вигляді 0=-1+1, тобто

.

Тоді перший рядок визначника можна розкласти в суму двох рядків (для зручності рядок визначника запишемо у вигляді вектора):

(-1+1,1,1,...,1,1) = (-1,0,0,0,...,0,0) + (1,1,1,1,...,1,1).

За першим рядком визначник можна розкласти в суму двох визначників

.

Перший визначник (1 є визначником трикутного вигляду відносно головної діагоналі:

= (-1)(2(3(4(...((n+1) = -(n+1)!

Другий визначник



можна звести до трикутного вигляду відносно головної діагоналі. Для цього від другого рядка визначника віднімемо перший

.

Далі від третього рядка віднімемо перший, помножений на 2, від четвертого віднімемо перший, помножений на 3, і, нарешті, від останнього віднімемо перший, помножений на n.

.

Одержуємо визначник трикутного вигляду відносно головної діагоналі. Таким чином, (2=1(1(...(1 = 1 і, остаточно,

(= (1+(2 = 1-(n+1)!

Приклад 16. Обчислити методом розкладу в суму визначників визначник з прикладу 9.

.

Розв’язування. Порядок визначника дорівнює n. Перший рядок визначника можна розкласти в суму двох рядків (для зручності рядки будемо записувати у вигляді векторів):

(x+1,x,x,…,x) = (x,x,x,…,x) + (1,0,0,…,0).

Аналогічно, в суму двох рядків можна розкласти решту рядків:

(x,x+2,x,…,x) = (x,x,x,…,x) + (0,2,0,…,0),