Метод розкладу визначника в суму визначників, Детальна інформація

................................................................................

.

Таким чином,

(= (0+(1+(2+(3+...+(n.

Визначник (0 є визначником трикутного вигляду відносно головної діагоналі. Тому

= (x1-a1b1)(x2-a2b2)(x3-a3b3)… (xn-anbn).

Обчислимо визначник (i при і ( 1.

.

Розкладемо визначник (і на за елементами і-го стовпчика:

=

= (-1)2і aіbі (x1-a1b1)(x2-a2b2)(x3-a3b3)...(xі-1-aі-1bі-1) (xі+1-aі+1bі+1)…(xn-anbn) =

= aіbі (x1-a1b1)(x2-a2b2)(x3-a3b3)...(xі-1-aі-1bі-1) (xі+1-aі+1bі+1)…(xn-anbn).

Одержуємо

(= (0+(1+(2+(3+...+(n = (x1-a1b1)(x2-a2b2)(x3-a3b3)… (xn-anbn) +

+ a1b1 (x2-a2b2)(x3-a3b3)...(xn-anbn) + a2b2 (x1-a1b1)(x3-a3b3)...(xn-anbn) +

.

Приклад 18. Обчислити визначник

.

Розв’язування. Зрозуміло, що порядок визначника дорівнює n. Розкладемо кожний рядок визначника в суму двох рядків:

(a1-x1y1, a1-x1y2, a1-x1y3,…,a1-x1yn) = (a1, a1, a1,…,a1) + (-x1y1,-x1y2,-x1y3,…,-x1yn)

(a2-x2y1, a2-x2y2, a2-x2y3,…,a2-x2yn) = (a2, a2, a2,…,a2) + (-x2y1,-x2y2,-x2y3,…,-x2yn)

(a3-x3y1, a3-x3y2, a3-x3y3,…,a3-x3yn) = (a3, a3, a3,…,a3) + (-x3y1,-x3y2,-x3y3,…,-x3yn)

………………………………………………………………………………………

(an-xny1, an-xny2, an-xny3,…,an-xnyn) = (an, an, an,…,an) + (-xny1,-xny2,-xny3,…,-xnyn).

Розкладемо визначник в суму двох визначників за другим рядком:

+

.

Далі кожен з двох одержаних визначників можна розкласти в суму двох визначників за другим рядком. Одержуємо суму чотирьох визначників:

+

+