Загальні питання наближення функцій, Детальна інформація

(B - область, в якій задано u та v ), а також в просторі C (рівномірне або чебишовське наближення), де

.

Замість лінійної апроксимації (1) можна використовувати також раціональну апроксимацію, де

.

Внаслідок того, що раціональний вираз легко програмується, така апроксимація використовується для наближення складних функцій, таких, як, наприклад, функції Бесселя.

Нерідко трапляються випадки, коли раціональна апроксимація з заданим cтепенем точності потребує менше коефіцієнтів, ніж лінійна. Раціональна апроксимація є частинним випадком нелінійної апроксимації функції u(x) виразом вигляду

n),

j визначаються з умови

=min.

Отже, приступаючи до задачі наближення функції, треба знайти відповіді на такі питання:

1. Якою наявною інформацією ми володіємо?

2. Який клас наближуючих функцій використати?

3. Якою мірою оцінити близькість функцій u та v ?

4. Яка точність потрібна ?

Обговоримо коротко ці питання.

1. На практиці наявна інформація про функцію часто задається зовнішніми обставинами, наприклад, коли в незалежні від дослідника моменти часу t1, t2, ... , tm спостерігаються значення функції u(t), і потрібно відновити її значення при інших t.

В інших ситуаціях є можливість вибору вхідної інформації. Наприклад, якщо є необхідність багато разів обчислити деяку складну функцію в різних точках, то може бути доцільним обчислити її в декількох заздалегідь визначених точках, а в інших точках обчислювати за деякими простими формулами, що використовують інформацію про відомі значення.

2. Як випливає з розглянутої постановки задачі, найчастіше наближуючими функціями обирають поліноми (алгебраїчні, тригонометричні, експоненційні), рідше їх відношення. Вигляд наближуючої функції істотно залежить від мети наближень. Припустимо, що деяку функцію можна з потрібною точністю наблизити або степеневим поліномом шостого степеня або тригонометричним виразом. Перша форма зручніша для багатократних обчислень на ЕОМ, а друга - для реалізації на моделюючих пристроях або для теоретичних досліджень.

3. Вибір близькості функцій u i v в першу чергу визначається фізичним змістом задачі і лише потім - математичними міркуваннями.

4. Кількісна оцінка точності одержаного наближення до точного розв’язку часто є непростою задачею. Міри точності відповіді залежать від конкретних ситуацій:

- Чи існує не груба і досить проста для практичного використання теоретична оцінка точності ?

- Чи повинен алгоритм давати розв’язок модельної задачі з необхідною кількістю точних знаків ?

- Якою є нев’язка математичного співвідношення після підстановки в нього апроксимуючоі величини замість істинної ?

Таким чином, ми бачимо, що відповіді на ці питання можуть значною мірою впливати на результати, одержані в процесі обчислень.

Cn+1[a,b] має вигляд:

.

В точці x0 це наближення має ту властивість, що всі його похідні до порядку n включно співпадають з відповідними похідними функції u, тобто поліном Тейлора досить добре апроксимує u(x) в околі точки x0. Похибку наближення визначає залишковий член формули Тейлора

, (2)

[a,b], x* лежить строго між х і х0 .

. Тоді з (2) маємо