Загальні питання наближення функцій, Детальна інформація

,

, (3)

де l = max ( x-a, b-x ).

0, тобто u(x) - поліном степеня n+1. Тоді u(n+)(x) =Mn+1 і (3) перетворюється в рівність. Крім розкладу функції u(x) за системою функцій 1, (x-x), (x-x )2, ... , функціями v (x) можна обирати спеціальні функції, такі як поліноми Чебишова, Лежандра, Лагерра, функції Бесселя та інші.

При поверхневому розгляді може здатись, що ці розклади неефективні внаслідок труднощів обчислення самих спеціальних функцій. Але відомо, що більшість сімейств спеціальних функцій f (x) задовольняють рекурентному співвідношенню вигляду

fk+1(x) = A(k,x) fk (x) + B(k) fk-1 (x), k=1,2,..,

де коефіцієнти А, В заздалегідь визначені.

Якщо спеціальні функції - поліноми, то, знаючи f0 i f1 , поліноми більш високих степенів обчислити не важче, ніж складові степеневого ряду. Так, наприклад, система поліномів Лежандра, ортогональна на [-1,1], визначається співвідношенням



ЗАУВАЖЕННЯ.

1. Наближуючи функції узагальненими поліномами, часто цими поліномами обирають степеневі поліноми 1, x, x2, ... . Система {xi} є повною в C [0,1] і не лише повною, але й переповненою. Так, з усіх цих функцій можна залишити лише ті, для яких показник - просте число або нуль, і одержана система залишиться повною. Використання переповнених систем в чисельному аналізі небажане, а на думку багатьох авторитетів у цій галузі і неприпустиме. Тому від системи {xi} необхідно переходити до систем ортогональних поліномів.

j, j=0,1,...n; A0=0. В підсумку одержуємо An+1=Pn(x).

Схема Горнера є оптимальною в тому відношенні, що потребує мінімально можливого числа множень.

Схему Горнера можна застосовувати і для обчислення значень сум вигляду:

,

і f-1(x) задовольняють тричленному рекурентному співідношенню

fk+1(x)+ak(x)fk(x)+bk(x)fk-1(x)=0, k=0,1,..,n

Схема обчислення значення Sn(x) є безпосереднім узагальненням схеми Горнера: будуємо послідовність

- aj Aj+1 - bj Aj+2, j=n, n-1,..,0: An+1=An+2=0

і одержуємо Sn(x)=A0 f0(x).

ВПРАВИ.

1. Довести, що в лінійному нормованому просторі:

а) множина елементів найкращого наближення опукла;

б) якщо простір строго нормований, то елемент найкращого наближення єдиний.

не існує елементу найкращого наближення.

також є чебишовською.

?

є нормованим.

не є строго нормованим.

строго нормованим?