Різницеві інтерполяційні формули, Детальна інформація

, маємо

.

, тому

.

Підставляючи це в (3), одержимо

.

Таке представлення ІП називається формулою Ньютона з розділеними різницями. З порівняння ІП Ньютона і Лагранжа випливає важлива рівність

. (4)

, то на підставі (4) маємо

.

, то внаслідок (4) маємо

.

.

Справедлива рівність

. (5)

полягає в послідовному обчисленні за допомогою (5) елементів таблиці значень ІП.



або з найкращою можливою точністю при наявній інформації,

Побудова алгоритму, яку ми зараз розглянемо, є досить типовою для ситуації, що виникає на практиці. Неможливо запропонувати обгрунтований алгоритм розв'язку поставленої задачі для всіх функцій, якщо про функцію нічого не відомо, крім її значень в заданих точках. Але, припускаючи, що функція є досить гладкою, одержуємо практичний критерій оцінки похибки і, грунтуючись на ньому, будуємо алгоритм розв'язку задачі.

.

Раніше ми одержали вираз для похибки (2)

,

припиняються.

Розглянемо тепер дещо узагальнену задачу інтерполювання. Якщо у вузлах інтерполяції відомі не лише значення шуканої функції, а й її похідних до деякого порядку, то було б нерозумним не скористатися цією додатковою інформацією.

, що задовольняє умовам:



. . . . . . . (6)

,

відповідно.

задoвoльняє cпіввідношенням