Властивості розв’язків лінійних однорідних систем, Детальна інформація

Визначення 2. Визначник, що складається з векторів

, тобто



називається визначником Вронського.

лінійно залежні, то визначник Вронського тотожно дорівнює нулю.

.

Або, розписавши покоординатно, одержимо

.

тоді і тільки тоді, коли визначник дорівнює нулю, тобто

.

.

.

Тоді система однорідних алгебраїчних рівнянь



. Розглянемо лінійну комбінацію розв’язків з отриманими коефіцієнтами

.

, або

,

лінійно залежні, що суперечить умові теореми.

, що і було потрібно довести.

.

Доведення. Випливає з попередніх двох теорем.

Теорема 4. Загальний розв’язок лінійної однорідної системи представляється у вигляді лінійної комбінації п -лінійно незалежних розв’язків.

або в координатній формі:

.

лінійно незалежні, то визначник Вронського відмінний від нуля. Отже, система алгебраїчних рівнянь



.

Тоді лінійна комбінація