Розкладність графів. Морфізми кульових структур груп і графів, Детальна інформація

Доведення. Зручно вважати, що I \x2500 граф з множиною вершин ( і множиною ребер E={(i,i+1): i((}. Для кожного k(( розглянемо бінарний розклад

k=a020+a121+…+an2n.

Визначимо відображення f: ((G за правилом

f(k)=(a0, a1,…, an, 0,0,0,…).

Для кожного m(( позначимо

Gm={g(G: g=(z0,z1,…, zm, 0, 0, 0, …), z0,…, zm({0,1}}.

Помітимо, що

B(f(k), Gm)(f([k-2m+1, k+2m+1]).

- відображення B(I) на B(G) .

Теорема 1. Для довільного нескінченного зв'язного графа Gr(V,E) справедливі твердження

B(Gr).

B(I).

-відображення .

Теорема 2. Для кожної нескінченної групи G такі твердження рівносильні

B(I);

B(G);

(iii) група G не являється локально скінченною.

-відображення f: G ( N і виберемо скінченну підгрупу H( G, таку що B(f(g),1)( f(B(g,H)). Зафіксуємо довільний елемент g0(G і виберемо максимальне натуральне число m(f(B(g0,H)). Виберемо g1(B(g0,H) з f(g1)=m. Оскільки H \x2500 підгрупа, то B(g1,H)( B(g0,H). Отже B(f(g1,1))( f(B(g0,H)) і m+1(f(B(g0,H)), що суперечить вибору m. Отже, група G не може бути локально скінченною.

-відображення f: N(G і виберемо скінченну підгрупу H ( G, таку що

f(B(n,1)) ( B(f(n),H)

для кожного n(N. Виберемо максимальне число m(f -1 (B(f(1)),H). Оскільки f(m)(B(f(1),H) і H \x2500 підгрупа, то B(f(m),H)=B(f(1),H). Оскільки f(B(m,1)) ( B(f(m),H), то m+1(B(f(1),H), що суперечить вибору числа m.

-відображення B(G) на B(I).

(iii) ( (ii). Виберемо нескінченну скінченно породжену підгрупу G( ( G і ототожнимо її з кульовою структурою B(Cay). Застосуємо теорему 10.1.

B(G) тоді і тільки тоді, коли група G містить нескінченну циклічну підгрупу скінченного індексу, або G \x2500 зліченна локально скінченна група.

B(Gr) і розглянемо два випадки.

Випадок 1. Група G містить елемент g нескінченного порядку. Нехай C – підгрупа породжена елементом g, e \x2500 одиниця групи G. Покладемо (={e,g} і помітимо, що для кожного елемента x(G послідовність n(( є (-променем в B(G). За лемою 4 C \x2500 підгрупа скінченного індексу.

B(G'). Ототожнимо B(G') з кульовою структурою B(Cay) її графа Келі. За лемою 2. група G( лінійного зросту. За теоремою Громова [21] G( має нільпотентну підгрупу скінченного індексу. Оскільки H \x2500 скінченно породжена періодична нільпотентна підгрупа, то H скінченна. Отже, G' скінченна, що суперечить її вибору.

B(G).

Припустимо, що G \x2500 скінченне розширення нескінченної циклічної підгрупи C, породженої елементом g. Можна вважати, що підгрупа C інваріантна і x-1gx({g,g-1} для всіх елементів x(G. Розкладемо G на праві суміжні класі по підгрупі C і виберемо деяку множину представників H={h1,h2,…,hn}, причому H=H-1. Для всіх i,j ( {1,2,..,n} виберемо a(i,j)(Z так, що hi,hj(ga(i,j)H. Покладемо a=max{|a(i,j)+1|: i,j ( {1,2,..,n}. Розглянемо граф Келі Сау групи G, визначений системою твірних H( {g,g-1}. Покладемо V0={gkH: |k|( a}, V1={gkH: a<|k|( 2a}, V2={gkH: 2a<|k|( 3a},… .

B(Cay).