Розкладність графів. Морфізми кульових структур груп і графів, Детальна інформація

Теорема 4. Для довільної групи G такі твердження еквівалентні

B(I);

(ii) G є скінченним розширенням нескінченної циклічної групи.

Доведення випливає з теореми 2 і 3.

Задача 1. Довести, що кульова структура B(G) групи G ізоморфна кульовій структурі B(Z) групи цілих чисел тоді і тільки тоді, коли G \x2500 скінченне розширення нескінченної циклічної групи.

Задача 2. Довести, що кульові структури B(I) і B(Z) неізоморфні.

За наведених задач випливає, що не існує групи G, для якої B(G) ізоморфна B(I).

Теорема .5. Для довільних локально скінченних груп G1, G2 справедливі такі твердження

B(G2).

Доведення випливає з лем 9 і 7.

Теорема 6. Нехай G1, G2 \x2500 зліченні локально скінченні групи. Кульові структури B(G1) i B(G2) ізоморфні тоді і тільки тоді коли справедливі наступні обидва твердження :

(i) для кожної скінченної підгрупи F( G1 існує скінченна підгрупа H( G2 , така що |F| \x2500 дільник |H|;

(ii) для кожної скінченної підгрупи H( G2 існує скінченна підгрупа F( G1 , така що |H| \x2500 дільник |F|;

Доведення. Виберемо послідовність F0 ( F1(…( Fi (… скінченних підгруп групи G1 таку, що G1 = (n(( Fi , F0 \x2500 одинична підгрупа. Покладемо ki=|Fi+1 : Fi|, n((. Виберемо послідовність H0 ( H1(…( Hi (… скінченних підгруп групи G2 таку, що G2 = (i(( Hi , H0 \x2500 одинична підгрупа. Покладемо mi=|Hi+1 : Hi|, i((. За лемою 9 B(G1), B(i(( ) і B(G2) B(i(( ) попарно ізоморфні кульові структури. Відмітимо, що кожна скінченна підгрупа групи G1 міститься в деякій підгрупі Fk і кожна скінченна підгрупа групи G2 міститься в деякій підгрупі Hm. Отже, ми можемо застосувати лему 8.

Аналізуючи викладені результати природно виникає таке питання.

B2 )?

B(I) невірне. Отже, відповідь на перше запитання негативна.

B(Gr) не вірне. Отже відповідь на друге запитання теж негативна.

B(G) для кожної зліченної групи G.

Зваженим графом Grw(V,E) назвемо граф Gr(V,E) разом з функцією w: E ( N, що приписує кожному ребру e ( E його вагу w(e)(N. Довжина шляху x1, x2, …, xn у зваженому графі \x2500 це сума довжин w(x1,x2), w(x2,x3),…, w(xn-1,xn.). Покладемо d(x,x)=0, x(V і d(x,y)= (, якщо x,y належить різним зв’язним компонентам графа Gr. Якщо ж x,y належать одній зв’язній компоненті графа Gr, позначимо через dw(x,y) довжину найкоротшого зваженого шляху між x і y. Покладемо Bw(x,m)={y(V: dw(x,y)( m}, m((. Кульову структуру (V,(,Bw) позначимо через B(Grw).

Задача 4. Довести, що кульова структура B(G) довільної зліченної групи G ізоморфна кульовій структурі B(Grw) деякого зваженого графа Grw.

B(G2)? За теоремою 5 це так, якщо групи G1, G2 зліченні.

За теоремою 6. існує рівно континуум попарно неізоморфних кульових структур зліченних локально скінченних груп.

Проблема 2. Нехай ( \x2500 довільний нескінченний кардинал. Яка максимальна кількість груп потужності ( з попарно неізоморфними кульовими структурами?