Розв`язання систем лінійних рівнянь методом Гауса, Детальна інформація

Нехай (г'і, ід, ..., і'„) — довільно вибраний розв'язок системи 5 (Л'). Тоді він є розв'язком також і системи (5), еквівалентної системі 5 (Л').

Отже, ^, 4ц ^*.» ••• •к єтими єдиними'значеннями головних невідомих, які дістаємо за допомогою системи (5), якщо вільним невідомим надати значень, що є компонентами розв'язку (/і, /д, ..., 1^).

З викладеного вище випливає справедливість таких тверджень.

Теорема 1. Система лінійних рівнянь сумісна тоді і тільки тоді, коли вона перетворюється'на ступінчасту систему, в якій немає рівнянь вигляду 0 == ^' (Ь Ф 0).

Теорема 2. Сумісна система лінійних рівнянь є визначеною тоді і тільки тоді, коли в ступінчастій системі, в яку вона перетворюється, число рівнянь г дорівнює числу невідомих п.

З цих теорем випливають такі наслідки.

Наслідок 1. Система п лінійних рівнянь з п невідомими е визначеною тоді і тільки тоді, коли вона перетворюється на ступінчасту систему, в якій а\\ =^0, 0:22 ^ 0, ..., Опп ^ 0.

$

&

i

i

\x845E\x10E0

&





j

l

n

p

t

v

\x0152

\x017D

TH

a

ae

ae

oe

th

3 рівнянь сумісна, а за теоремою 2, вона визначена. Навпаки, якщо дана система п лінійних рівнянь з п невідомими визначена, то за теоремою 1, у ступінчастій системі, на яку вона перетворюється, немає рівнянь вигляду 0 = Ь', (Ь' ^= 0) і, за теоремою 2, число рівнянь у ступінчастій системіїдорівнює п. Отже, в ступінчастій системі а\\ ^ О, агч ^ 0, ..., а'пп Ф 0. >•