Розв`язання систем лінійних рівнянь методом Гауса, Детальна інформація

Наслідок 2. Сумісна система т лінійних рівнянь з п невідомими Їіри т <п є невизначеною.

•^ Справді, сумісна система т лінійних рівнянь з п невідомими при т •< п перетворюється на .ступінчасту систему, в якій число рівняньг менше, ніж число невідомих п, і тому, за теоремою 2, вона є невизначеною. ^

Лінійне рівняння -, . і—.йй а^+а,х,+ ... +а^==6 ^: °0'

називається однорідним, якщо його вільний член Ь дорівнює нулю. Система лінійних рівнянь називається однорідною лінійною системою або системою лінійних однорідних рівнянь, якщо всі її рівняння однорідні, тобто якщо всі її вільні члени дорівнюють нулю.

Застосуємо одержані вище результати до однорідної лінійної системи. Нехай дано довільну систему лінійних однорідних рівнянь

йц^і + аі2^2 + • • • + ащХп =0, 021-^1 + 022^2 4- •-• • + а2пХп = 0, ^

Ог.Л^ -т- ОтіХг — • • • + СІтпХп =-- 0. ,

Ця система сумісна, оскільки вона має нульовий розв'язок (О, О, ,.., 0).-Це узгоджується й з доведеною вище теоремою 1. Справді, оскільки всі вільні члени системи (6) дорівнюють нулю, то вона перетворюється на ступінчасту систему, в якій немає рівнянь вигляду 0=о (&^0). ' - '

Якщо система (6) перетворюється на ступінчасту ,-истему,. в якій число рівнянь /• дорівнює числу невідомих п, то за теоремою2, вона має єдиний розв'язок — нульовий. Якщо ж система (6) перетворюється на ступінчасту систему, в якій число рівнянь ,'• у.енше, ніж число невідомих п, то множина її розв'язків нескінченна, і, отже, вона має ненульові розв'язки, тобто розв'язки, в яких деякі (а можливо й усі) компоненти відмінні від нуля.

Множина ненульових розв'язків буде нескінченною.

Теорема 3. Система лінійних однорідних рівнянь, в якій число , рівнянь менше, ніж число невідомих, має ненульові розв'язки. •

За наслідком 2, така система невизначена, тобто має нескінченну множину розв'язків, серед яких є і розв'язки, відмінні від нульового.

Приклади. 1. Розв'язати систему

х,+ х^+2х^-=- 1,

2жі+4А-2+5.їд=—8, ——

«Ї+ЗX2-^5А:3=—7. ЗА-і4-7-«-2+9^3=—15-

Р о з в'я за н н я. Зведемо розширену матрицю цієї системи /І 1 2-1 \ | 2 4 5 —8 | | 1 3 5 —7 | \3 7 9 —15/

до ступінчастого вигляду. Перший рядок, помножений відповідно на 2, 1, 3, віднімемо від другого, третього і четвертого рядків, дістанемо

/І 1 2 1\ 1021—61 І 0 2 3—6 1

\0 4 3 —12/

Другий рядок, помножений відповідно на 1, 2, віднімемо від третього і четвертого рядків, матимемо

/1 1 2-^

-•--—•—•------— [02 1 —6| -...-_^і1_ : ,

' ; ' ґ " - :•' /<:; '"^ "1002 0 |" • \- • .•^-.-і-.- . -.-

\0 0 1 О/

Третій рядок, помножений на 1/,, віднімемо від четвертого рядка, дістанемо

/1;1 2-1\ ; , 1 0 2 1 —6 1

і 0 0 2 01 .

д—»-— \о о о- • о/ • . .

/ Звідси випливає, що задана система ;;ікіі1них різн-таь перетворюється (після ц вилучення рівняння вигляду 0 == 0) на ступі:-:часту систему