Формула Ньютона – Лейбніца, Детальна інформація

Безпосередньо за означенням інтеграли легко обчислювати лише для най- простіших функцій, таких, як y = k x, y = x\x00B2 Для інших функцій, наприклад тригонометричних, оьчислення границь сум ускладнюється.

Виникає запитання: чи не можна обчислювати інтеграли іншим способом? Такий спосіб був знайдений лише у ХVII ст. англійським вченим Ісааком Ньютоном (1643 – 1727) і німецьким математиком Готфрідом Лейбніцом (1646 – 1716). Строге доведення формули Ньютон – Лейбніца дають у курсі матема-тичного аналізу. Ми лише проілюструємо правильность формули геометрич-ним міркуванням.

Нагадаємо задачу про площу криволінійної трапеції. Було встановленно, що



Виберемо довільну точку x є [ a; b]і проведемо через

неї пенпендикуляр хК до осі Ох. Площа фігури а А К х

змінюється зі змінною х. Позначемо цю функцію че-

рез S (x) і покажемо, що існує її похідна причина, при-

чому S\x0384(x)=\x0192(x), де y=\x0192(x) – підінтегральна функція,

графік якої обмежує криволінійну трапецію. Інакше

кажечи, покажемо, що S (x) є первісною для \x0192(x).



Надамо змінній x приросту \x0394x, вважаючи ( для спрощення міркування), що \x0394x > 0. Тоді й фенкція S (x) набуде приросту \x0394S (x). У курсі математичного аналізу доводиться, що неперервна на відрізку[ a; b]функція y=\x0192(x )досягає на цьому найбільшого і найменшого значень. Оскільки підінтегральна функція y=\x0192(x ) є неперервною на відрізку[x,x+\x0394x], то вона досягає на цьому відрізку найменшого і найбільшого значень. Отже,

m \x0394x < \x0394 S (x) < M \x0394x

Поділивши всі частини цієї нерівності на, одержимо

За непервністю функції y=\x0192(x)

lim m =lim M = \x0192(x)

\x0394x\x21920 \x0394x\x21920

функція є однією з первісних функції y=\x0192(x ).

Позначимо через F(x)будь-яку первісну для функції y=\x0192(x ). За основною властивістю первісної будь-які первісні для однієї і тієї самої функції можуть відрізнятися лише сталим додатком C. Тому

S(x) = F(x)+ C. (1)

При x=a криволінійна трапеція вироджується у відрізок a A, тому S(x) = 0.

Підставивши у рівність (1) замість х число а , а замість S(x) число 0, одер-жимо C= - F(a). Після підстановки замість C у рівність (1) його значення маємо

S(x) = F(x)-F(a). (2)

Коли x=b, то площа криволінійної трапеції дорівнює числуS=S(b). Крім того, за цією умови рівність (2) матиме вигляд

S(b) = F(b)-F(a).

Раніше було встановлено, що площа криволінійної трапеції дорівнює

b