Формула Ньютона – Лейбніца, Детальна інформація

значенню \x222B \x0192(x) dx. Тому можна зробити висновок, що

a

b

\x222B \x0192(x) dx = F(b)-F(a). (3)

a

Це і є формула Ньютона-Лейбніца, яка показує, що значення інтегралу на відрізку[a;b] дорівнює різниці значень первісної підінтегральної функції при x=b i x=a.

Різницю F(b)-F(a) позначають. Тому рівність (3) можна записати так:





Розвязання роглянутих раніше двох задач про площі трикутника і фігури, обмеженої параболою, значно спрощується, якщо використати формулу Ньютона – Лейбніца. Справді,



(кв. од.);

(кв. од.).

П р и к л а д 3. Обчислимо за формулою

Ньютона – Лейбніца площу фігури,

обмеженої зверху синусоїдою y=sin x,

знизу – віссю Ох, а з боків – прямими

.

Розв’язання:



( кв. од.).

Запишемосимволічно основні властивості інтеграла, які випливають із властивостей первісної та формули Ньютона – Лейбніца. Їх неважко довести, користуючись означенням інтеграла:

де





тобто якщо відрізок[a;b]розбито на два



відрізки точкою с, то інтеграл на відрізку[a;b]дорівнює сумі інтегралів на від- різках[a;b] i [a;c].

де

Доведіть самостійно перші три властивості. Останню иластивість доведен-но в курсі математичного аналізу.