Найпростіші дії з матрицями, Детальна інформація

Лінійний n-вимірний простір

План:

Лінійний n-вимірний векторний простір.

Базис.

Власні значення та власні вектори матриць.



Векторний простір.

називається m-вимірним вектором і позначається вектором-стовпцем або вектором-рядком:

.

називають координатами, або проекціями, вектора а. Число m називається розмірністю вектора а. Перехід від запису вектора у вигляді стовпця до запису у вигляді рядка та навпаки називається транспортуванням вектора.

.

Означення. Два вектори називаються рівними, якщо рівні між собою їх відповідні координати.

.

можна розглядати відповідно як множину векторів на прямій (множину дійсних чисел), множину векторів на площині та множину векторів у тривимірному просторі. На відміну від векторів числа називають скалярами.

Означення. Вектор називається нульовим, або нуль-вектором, якщо всі його координати дорівнюють нулю. Нульовий вектор позначається 0 = (0, 0, ..., 0), або так само, як число нуль – знаком 0. Вектор –а = (-а1 , -а2, ..., -аm) називається протилежним вектору а = (а1 , а2, ..., аm).

вектори можна геометрично зображати напрямленими відрізками. При цьому вони мають початок і кінець. Два вектори a, b є рівними між собою, якщо вони паралельні, мають одну й ту саму довжину та однаковий напрям. Рівні вектори можуть мати довільні різні початки. Сумі a+b векторів a та b відповідає діагональ паралелограма, побудованого на векторах a та b. (рис. 1)

Рис. 1

Щоб дістати різницю векторів a-b, будуємо трикутник, зі сторонами, що їх утворюють ці вектори. Тоді вектор, початок якого збігається з кінцем вектора a, а кінець – із кінцем вектора b, являтиме собою шукану різницю. При цьому виконується рівність b-a = b+(-a). (рис. 2)





Рис. 2

- протилежний напряму а (рис. 3).

Означення. Сумою двох векторів а та b називається вектор a+b, координати якого дорівнюють сумі відповідних координат векторів-доданків:

.

на відповідні координати вектора а:

.

Вектори а та b називають колінеарними (паралельними), якщо їх відповідні координати пропорційні:

називається будь-яка максимальна (повна) лінійно незалежна система векторів цього простору. Так систему векторів: