Економічний зміст похідної. Використання поняття похідної в економіці., Детальна інформація

Економічний зміст похідної.

Використання поняття похідної в економіці.

Розглянемо задачу про продуктивність праці. Нехай функція и = и(t) відображає кількість виробленої продукції u за час t i необхідно знайти продуктивність праці в момент t0.

t ( 0 , тобто



Таким чином, продуктивність праці є похідна від обсягу виробленої продукції по часу.

Розглянемо ще одне поняття, яке ілюструє економічний зміст похідної.

— виражає граничні витрати виробництва і характеризує наближено додаткові затрати на виробництво одиниці додаткової продукції.

Граничні витрати залежать від рівня виробництва (кількість продукції, що випускається) х і визначаються не постійними виробничими затратами, а лише змінними (на сировину, паливо та ін.). Аналогічним чином можуть бути визначені гранична виручка, граничний доход, граничний продукт, гранична корисність, гранична продуктивність та інші граничні величини.

Застосування диференціального числення для дослідження економічних об'єктів та процесів на основі аналізу цих граничних величин дістало назву граничного аналізу. Граничні величини характеризують не стан (як сумарна чи середня величини), а процес зміни економічного об'єкта. Таким чином, похідна виступає як швидкість зміни деякого економічного об'єкта (процесу) за часом або відносно іншого об'єкта дослідження. Але необхідно врахувати, що економіка не завжди дозволяє використовувати граничні величини в силу неподільності багатьох об'єктів економічних розрахунків та перервності (дискретності) економічних показників в часі (наприклад, річних, квартальних, місячних та ін.). Водночас у деяких випадках можна відокремитись від дискретності показників і ефективно використовувати граничні величини.

Розглянемо, як приклад, співвідношення між середнім та граничним доходом в умовах монопольного та конкурентного ринків.

Сумарний доход (виручка) від реалізації продукції r можна визначити як добуток ціни одиниці продукції р на кількість продукції q, тобто r = pq.

(див. рис. 4.22). Звідси, в умовах монопольного ринку зі зростанням кількості реалізованої продукції граничний прибуток зменшується, внаслідок чого відбувається зменшення (з меншою швидкістю) середнього прибутку.

(див. рис. 4.23). Таким чином, в умовах ринку вільної конкуренції, на відміну від монопольного ринку, середній та граничний прибутки збігаються.

Для дослідження економічних процесів та вирішення інших прикладних задач використовується поняття еластичності функції.

х ( 0:

(4.21)

Еластичнісіь функції наближено відображає, на скільки відсотків зміниться функція у = f (х) при зміні незалежної змінної х на 1%.

, тобто еластичність функції (за абсолютною величиною) дорівнює відношенню відстаней по дотичній від даної точки графіка функції до точок її перетину з осями Ох та Оу. Якщо точки перетину дотичної до графіка функції А і В знаходяться по одну сторону від точки М, то еластичність Ех (у) додатня (див. рис. 4.24), якщо по різні сторони, то Ех(у) відмінна (див. рис. 4.25).

Властивості еластичності функції:

, тобто



2. Еластичність добутку (частки) двох функцій дорівнює сумі (різниці) еластичностей цих функцій:



3. Еластичності взаємообернених функцій — взаємообернені величини:

(4.22)

Еластичність функції застосовується при аналізі попиту та пропозиції. Наприклад, еластичність попиту у відносно ціни х (або доходу х) — коефіцієнт, що визначається за формулою (4.21) і наближено відображаючий, на скільки відсотків зміниться попит (обсяг пропозиції) при зміні ціни (або доходу) на 1%.

, то мова йде про попит з одиничною еластичністю.

Визначим, наприклад, як впливає еластичність попиту відносно ціни на сумарний прибуток z = pq при реалізації продукції. Вище ми вважали криву попиту р = p(q) — лінійною функцією; тепер припустимо, що р = p(q) — довільна функція. Знайдемо граничний прибуток