Множини і відношення, Детальна інформація

Нехай R - деяке відношення на множині M.

а). Відношення R називається рефлексивним, якщо для всіх a(M має місце aRa.

Очевидно, що відношення R1,R2,R4,R5,R7 - рефлексивні.

б). Відношення R називається антирефлексивним (іррефлексивним), якщо для жодного a(M не виконується aRa.

Відношення "більше", "менше", "є сином" антирефлексивні. В той же час, відношення R6 не є ні рефлексивним, ні антирефлексивним.

Всі елементи головної діагоналі матриці C для рефлексивного відношення на скінченній множині M дорівнюють 1, а для антирефлексивного відношення дорівнюють 0.

в). Відношення R називається симетричним, якщо для всіх a,b(M таких, що aRb маємо bRa.

г). Відношення R називається антисиметричним, якщо для всіх a,b(M таких, що aRb і bRa маємо a = b.

Наприклад, відношення R3,R4,R5,R6,R8 - симетричні, а відношення R1,R2,R7 - антисиметричні.

Неважко переконатись, що відношення R симетричне тоді і тільки тоді, коли R=R-1.

д). Відношення R називається транзитивним, якщо зі співвідношень aRb і bRc випливає aRc.

Наприклад, відношення R1,R2,R4,R5,R7,R8,R9 - транзитивні, а відношення R3,R6 - не транзитивні.

Неважко переконатись, що відношення R транзитивне тоді і тільки тоді, коли R(R(R.

Зауважимо, якщо відношення R має будь-яку з перерахованих вище властивостей, то обернене відношення R-1 також має ту саму властивість. Таким чином, операція обернення зберігає всі п'ять властивостей відношень.

Для довільного відношення R означимо нову операцію. Відношення R* називається транзитивним замиканням відношення R на M, якщо aR*b, a,b(M, тоді і тільки тоді, коли у множині M існує послідовність елементів a1,a2,...,an така, що a1 = a, an = b і a1Ra2, a2Ra3,...,an-1Ran.

Наприклад, нехай M - це множина точок на площині і aRb, a,b(M, якщо точки a і b з'єднані відрізком. Тоді cR*d, c,d(M, якщо існує ламана лінія, яка з'єднує точки c і d.

Можна довести, що відношення R транзитивне тоді і тільки тоді, коли R*=R.

Деякі відношення займають особливе місце в математиці. Розглянемо ці відношення окремо.

12. Відношення еквівалентності

Відношення R на множині M називається відношенням еквівалентності (або просто еквівалентністю), якщо воно рефлексивне, симетричне і транзитивне.

Враховуючи важливість відношення еквівалентності, дамо розгорнуте означення цього поняття. Таким чином, відношення R на множині M є відношенням еквівалентності або евівалентністю, якщо

1. aRa для всіх a(M (рефлексивність);

2. Якщо aRb, то bRa для a,b(M (симетричність);

3. Якщо aRb і bRc, то aRc для a,b,c(M (транзитивність).

Приклад 1.15. 1. Відношення рівності iM на будь-якій множині M є відношенням еквівалентності. Рівність - це мінімальне відношення еквівалентності, бо при видаленні бодай одного елемента з iM відношення перестає бути рефлексивним, а отже, і відношенням еквівалентності.

2. Відношення рівнопотужності множин є еквівалентністю.

3. Важливу роль відіграє в математиці відношення "мають однакову остачу при діленні на k" або "конгруентні за модулем k", яке є відношенням еквівалентності на множині N натуральних чисел для будь-якого фіксованого k(N. Відношення конгруентності за модулем k часто позначають a ( b (mod k). Цьому відношенню належать, наприклад, пари натуральних чисел (17,22), (1221,6), (42,57) для k=5, тобто 17 ( 22(mod 5), 1221 ( 6 (mod 5), 42 ( 57 (mod 5).

4. Еквівалентністю є відношення подібності на множині всіх трикутників.

Bi=A і Bi(Bj = ( для i(j. Множини Bi, i(I є підмножинами множини A і називаються класами, суміжними класами, блоками або елементами розбиття. Очевидно, що кожний елемент a(A належить одній і тільки одній множині Bi, i(I.

Припустимо, що на множині M задано відношення еквівалентності R. Виконаємо таку побудову. Виберемо деякий елемент a(M і утворимо підмножину SaR = { x | x(M і aRx}, яка складається з усіх елементів множини M еквівалентних елементу a. Відтак, візьмемо другий елемент b(M такий, що b(SaR і утворимо множину SbR = { x | x(M і bRx } з елементів еквівалентних b і т.д. Таким чином одержимо сукупність множин (можливо, нескінченну) {SaR,SbR,...}. Побудована сукупність множин { SiR | i(I} називається фактор-множиною множини M за еквівалентністю R і позначається M/R.