Загальні властивості неперервних функцій, Детальна інформація

Загальні властивості неперервних функцій

Загальні властивості неперервних функцій однакові як для функцій однієї змінної, так і для функцій багатьох змінних.

, визначена і неперервна в обмеженій замкненій області D, є обмеженою.

Для функції однієї змінної замкненою областю D є сегмент, наприклад, [а, b].

Сформулюємо теорему 3 для функції однієї змінної у = f(х). Функція f(х), неперервна на [а, b], є обмеженою.

неперервна в інтервалі (0, 1), але вона в цьому інтервалі не обмежена.

і f(А) \x2260 0, то функція в достатньо малому околі точки А зберігає знак.

Сформулюємо теорему 4 в термінах функції однієї змінної:

якщо функція у = f (х) неперервна в точці а і f(а) \x2260 0, то функція в достатньо малому околі точки а зберігає знак.

) виконується нерівність f(х) > 0.

-окіл точки f(а) (рис. 3.75).

такий, що f(х) > 0.

визначена і неперервна в деякій однозв'язній області D, причому в цій області дві точки А (а1 а2, ..., аn) і В (b1, b2, ..., bn), в яких функція набуває значень різних знаків:

f(А) < 0, f(В) > 0,

то в цій області знайдеться принаймні одна точка С, в якій функція перетворюється в нуль, тобто f(С) = 0.

Введемо поняття однозв'язної області. Множина точок простору Е„ називається простою дугою Жордана (простою кривою), якщо цей простір можна дістати в результаті відображення деякого сегмента t0 \x2264 t \x2264 Т за допомогою системи функцій



неперервних на цьому сегменті, причому двом різним значенням параметра t відповідають, дві різні точки.

, то крива називається простою замкненою кривою.

Розглянемо просту криву, задану рівняннями

х = х(t), y = y(t) (5.18)

на площині. Якщо будь-які дві точки області, розміщеної на площині, можна сполучити простою кривою, яка міститься в цій області, то область називається зв'язною. Для утворення однозв'язної області необхідно розглядати замкнену криву (5.18).

Якщо побудувати просту замкнену криву (5.18) на площині, то площина розіб'ється на дві області — внутрішню і зовнішню.

\x00B2

\x032A\x896A

\x0324\xB16A

\x6000\x3784\x6102\x0124\x6467\x25CD

\x4873Й\x2C00иться в D. На рис. 3.76 області а і б однозв'язні, а область в — неоднозв'язна. Поняття зв'язної і однозв'язної областей поширюється і на випадок n-вимірного простору.

) = 0.

називається коренем (нулем) функції f(х), а сформульована теорема називається теоремою про корінь (про нуль).