Побудова на основі натурних спостережень емпіричних формул лінійних залежностей методом найменших квадратів, Детальна інформація

. (1.7)

Для визначення коефіцієнтів а, b і с згідно з рівностями (1.5) маємо таку нормальну систему (А0=с, А1=b, A3= a) :



Приклад.

А тепер спробуємо вивести емпіричні формули залежності зміни популяції коників з часом.

Спочатку зробимо це першим з вищезгаданих методів - так званим “графічно-аналоговим” методом.

Якщо залежність чисельності популяції коників N від часу t виразити лінійною функцією:

N= at + b (1.8)

і провести пряму таким чином, щоб зображені на малюнку 1 (додаток 1) точки (з таблиці 1, додаток 1), починаючи з другої години вимірів, були розташовані найближче до цієї прямої, то знайдемо:

(1.9)

(1.10)

Отже, шукана лінійна залежність має такий вигляд:

N(t)=6,25 t + 32,25 (2.1)

Визначимо кількість коників у 2,3,4,5,6 та 7 години вимірів:

N1= N (2) = 6,25х2 + 31,25 = 43,75

N2= N (3) = 6,25х3 + 31,25 = 50

N3= N (4) = 6,25х4 + 31,25 = 56,25

N4= N (5) = 6,25х5 + 31,25 = 62,5

N5= N (6) = 6,25х6 + 31,25 = 68,75

N6= N (7) = 6,25х7 + 31,25 = 75

одержаних результатів від даних спостережень. Вони відповідно дорівнюють:

(2.2)

Отже, загальна похибка, яку доцільно визначити як суму квадратів усіх похибок, дорівнюватиме:

(2.3)

А тепер знайдемо параметри а, b і с, що входять в рівність (1.7) методом найменших квадратів.

Після підстановки відповідних числових значень нормальна система рівнянь () матиме такий вид:

(2.3)

Розв‘язавши систему лінійних рівнянь (2.3) знайдемо шукані параметри:

а = -0,7 b = 0,5 c = 32,7.

Отже, шукана лінійна залежність має такий вигляд: