Ймовірнісний зміст нерівності Йєнсена, Детальна інформація

Рис.1. До означення опуклої (а) та угнутої (б) функцій.



апроксимується сукупністю прямолінійних відрізків, і ми одержуємо шукане узагальнення.

має вигляд:





Математичне сподівання аргументу визначається так:



Математичне сподівання функції

.

Зрозуміло, що в цьому випадку краще скористатися процедурою групування вибірки і, спираючись на попередній результат, довести нерівність Йєнсена для опуклої (1) та угнутої (2) функцій.

- об'єм вибірки. Дискретний розподіл має вигляд:





.

Нерівність Йєнсена в цьому випадку має вигляд:

,

. (12)



стоїть математичне сподівання випадкового аргумента:

,

в правих частинах маємо математичне сподівання функції випадкового аргумента:

.

Порівнюючи математичне сподівання функції випадкового аргумента і значення функції від математичного сподівання аргумента, неважко встановити, що (11) і (12) – це узагальнені означення опуклої і угнутої функції відповідно (рис.2).





.



функції:

.