Поверхні обертання.Циліндричні та конічні поверхні. Канонічні рівняння поверхонь другого порядку (сфера, еліпсоїд, гіперболоїди, еліптичний і гіперболічний параболоїди), Детальна інформація

яка називається конусом другого порядку. Конус складається із прямих, що проходять       через початок координат. Переріз конуса

представляють собою еліпси



           

3.7.3. Еліпсоїд

 . Якщо кожну точку на

то всі точки еліпсоїда переходять в точки поверхні, що називається еліпсоїдом (рис.3.27). Рівняння еліпсоїда має вигляд                                                           Рис.3.27

       (3.47)

Еліпсоїд представляє собою   замкнуту поверхню з центром симетрії в початку координат. Еліпсоїд отримується із еліпсоїда обертання стиском так само, як і еліпс отримується стиском кола. Очевидно, коли всі півосі рівні, із (3.47) ми одержимо рівняння сфери



3.7.4. Однопорожнинний і двопорожнинний гіперболоїди

(яка її не перетинає) одержимо поверхню, яка називається однопорожнинним гіперболоїдом обертання



 ми отримаємо поверхню, що називається однопорожнинним гіперболоїдом (рис.3.28). рівняння цієї поверхні має вигляд

                                        

                                    (3.48)

            Через кожну точку однопорожнинного гіперболоїда (3.48) проходять дві прямі (прямолінійні твірні)



 тобто рівняння однопорожнинного гіперболоїда (3.52). А це значить, що всі точки прямих ліній при

 лежать на однопорожнинному гіперболоїді.

            Такі ж  міркування можна провести і для сімейства прямих



            Поверхня, що складається із прямих ліній, називається лінійчатою поверхнею. Отже, однопорожнинний гіперболоїд – приклад лінійчатої поверхні.



                

                Рис. 3.28                                              Рис.3.29

 (осі, яка її перетинає), то отримаємо поверхню, що називається двопорожнинним гіперболоїдом обертання. Рівняння цієї поверхні



            В результаті стиску цієї поверхні одержимо поверхню з рівнянням

                                (3.49)