Інтегрування раціональних функцій, Детальна інформація

Останній же інтеграл може бути про інтегрований за рекурентною формулою (9.3).

Неправильні раціональні дроби

 і правильного дробу. Цілу частину неправильного дробу можна виділити прямим діленням чисельника на знаменник. Ділення це продовжується доти, поки остача від ділення (це буде деякий поліном або просто  число) матиме менший степінь, ніж степінь полінома, що  є дільником.

Приклад 1.    Виділити цілу частину дробу



 , то дріб неправильний. Ми можемо безпосередньо виділити цілу частину, додавши і віднявши в чисельнику 8:





            Приклад 2.  Виділити цілу частину дробу





Отже,

.

 Інтегрування правильного раціонального дробу

 ) не представляє ніяких труднощів. Тому розглянемо саме інтегрування правильних раціональних дробів.



Нехай знаменник правильного дробу має вигляд

,

 коренів на множині комплексних чисел.

, тобто комплексні корені входять у поліном комплексно спряженими парами.

 - корені полінома, тобто



. Їх добуток



. Серед коренів полінома можуть виявитися кратні. Якщо врахувати це, то  розклад полінома на множники запишеться так:

           (8.21)   

 - кратності пар комплексно спряжених коренів.

 простих дробів:



 простих дробів: