Задачі геометричного і фізичного характеру, що приводять до диференціальних рівнянь. Диференціальні рівняння першого порядку. Задача Коші, Детальна інформація

Тоді





Після нескладних перетворень отримаємо диференціальне рівняння першого порядку





 ).

            Р о з в ‘ я з о к. За другим законом Ньютона



 ( ми беремо її із знаком мінус, оскільки вона направлена в сторону, що протилежна напрямку швидкості).Отже,





, яка б тотожньо задовольняла даному диференціальному рівнянню. Очевидно, що таких функцій буде безмежна множина.

Неважко перевірити, що всяка функція вигляду





            Диференціальне рівняння першого порядку має вигляд



 то можна записати у вигляді

.

В цьому випадку ми говоримо, що диференціальне рівняння розв’язане

відносно похідної. Для такого рівняння справедлива теорема про існування та єдності розв’язку диференціального рівняння.

            Теорема. Якщо в рівнянні







називається початковою умовою. Вона часто записується так:



            Задача знаходження розв’язку диференціального рівняння, що задовольняє початковій умові, називається задачею Коші.

            Означення 1. Загальним розв’язком диференціального рівняння першого порядку називається функція