Інтегрування деяких рівнянь другого порядку шляхом пониження порядку рівняння, Детальна інформація

 Рекомендуємо самостійно довести інші властивості (зауважимо, що властивість 3 є наслідком перших двох).

            Аналогічно тому, як формулюється поняття лінійної залежності (незалежності) векторів, вводиться означення лінійної залежності (незалежності) функцій.

, необхідно і достатньо, щоб їх визначник Вронського



 цього інтервалу.

            Загальний розв’язок рівняння (12.55) має вигляд

                     (12.32)

- лінійно незалежні розв’язки рівняння (12.31).

 лінійно незалежних розв’язків, сукупність яких називається фундаментальною системою розв’язків  рівняння (12.31).

одиниць. Зокрема, якщо відомий один частинний розв’язок лінійного однорідного рівняння другого порядку, то загальний розв’язок може бути знайдений квадратурами (тобто інтегруванням).

3. Лінійне неоднорідне рівняння

Розглянемо деякі властивості рівняння (12.30а).

 та загального

:

                                                     (12.33)

 (за умовою):



Доведемо, що вираз (12.33) є загальним розв’язком рівняння (12.30а).

, які входять у цей розв’язок, можна підібрати так, щоб виконувались початкові умови

.      (12.34)

 з умов (12.34) одержуємо



, якому відповідає розв’язок задачі Коші (12.30а) , (12.34). Властивість доведено.

               20. Якщо відомий загальний розв’язок рівняння (12.31а), то загальний розв’язок рівняння (12.30а) можна    знайти методом варіації  довільних сталих Лагранжа за допомогою  квадратур.

            Справді, будемо шукати розв’язок неоднорідного рівняння (12.30а) у формі

          (12.35)

.

 будемо мати систему алгебраїчних рівнянь

          (12.36)

            Покажемо доведення цієї системи на прикладі диференціального рівняння другого порядку