Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами, Детальна інформація

План

Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами

Характеристичне рівняння

Загальний розв’язок лінійного однорідного диференціального рівняння з постійними коефіцієнтами

1. Лінійні диференціальні рівняння з сталими коефіцієнтами

            Такі рівняння дуже часто зустрічаються в практиці й розв’язуються досить просто. Розглянемо окремі однорідні й неоднорідні рівняння, причому для простоти опинимося детально на диференціальних рівняннях другого порядку.

           

1.1. Лінійні однорідні рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами

Нехай маємо диференціальне рівняння вигляду

                                     (12.38)

, а це дозволяє легко знайти розв’язок (12.38).

   

в рівняння (12.62), одержимо



 маємо

                                   (12.39)

            Рівняння (12.39) називається характеристичним відносно рівняння (12.38). Це – квадратне рівняння. Можливі такі ситуації відносно його коренів:

;

);



            Зупинимося детально на кожному із цих трьох випадків.



 та 



            Загальний розв’язок рівняння (12.38) має вигляд

                              (12.40)

- довільні сталі.

 є комплексними функціями дійсного аргументу:



або