Знакочергуючі ряди. Ознака Лейбніца. Оцінка залишку ряду. Абсолютна і умовна збіжності знакозмінних рядів. Властивості абсолютно збіжних рядів, Детальна інформація

і буде сумою даного ряду.



 у вигляді



, спадаючи. Таким чином, завжди



Зокрема, можна стверджувати

                                         (13.19)





, не перевищує за абсолютною величиною першого члена, який відкидаємо.

           Приклад. Найпростішими рядами лейбніцівського типу є ряди





Збіжність обох рядів випливає із доведеної теореми.

2. Знакозмінні ряди. Абсолютна та умовна збіжності

           Ряд, члени якого мають довільні знаки, називається знакозмінним. Серед них можуть бути члени як  додатні, так і від’ємні.

           Очевидно, що знакочергуючі ряди, розглянуті в попередньому параграфі, є частинним випадком знакозмінних рядів.

           Ми будемо вважати, що члени ряду

                              (13.20)

можуть бути як додатними, так і від’ємними.

           Теорема 1. Якщо знакозмінний ряд (13.20) такий, що ряд, складений із абсолютних величин його членів

                              (13.21)

збігається, то й даний ряд (13.20) також збігається.

 частинні суми рядів (13.20) і (13.21).



 

, тобто знакочергуючий ряд (13.20) збігається.

           Зауважимо, що ознака збіжності, яка вище доведена, є тільки достатньою ознакою збіжності знакозмінного ряду, але не необхідною.

Існують такі знакозмінні ряди (13.20), котрі збігаються, а ряди, складені із абсолютних величин їх членів, розбігаються. В зв’язку з цим вводяться поняття абсолютної та умовної збіжності.