Знакочергуючі ряди. Ознака Лейбніца. Оцінка залишку ряду. Абсолютна і умовна збіжності знакозмінних рядів. Властивості абсолютно збіжних рядів, Детальна інформація

           Означення. Знакозмінний ряд (13.20) називається абсолютно збіжним, якщо збігається ряд (13.21), складений із абсолютних величин його членів. Якщо ж знакозмінний ряд (13.20) збігається, а ряд (13.21), складений із абсолютних величин його членів, розбігається, то даний знакозмінний ряд називається умовно або неабсолютно  збіжним.

           За допомогою поняття абсолютної збіжності теорему 1 часто формулюють таким чином: всякий абсолютно збіжний ряд є збіжним

рядом.

           Приклад 1.  Дослідити збіжність ряду

.

            Р о з в ‘ я з о к. Розглянемо ряд, складений із абсолютних величин членів даного ряду

  .

Для дослідження збіжності цього ряду використаємо ознаку порівняння:

,

а ряд

розбіжний,

 розбігається.

          Перевіримо виконання умов теореми Лейбніца (13.17) - (13.18):



.

Обидві умови виконуються.

          Оскільки ряд із абсолютних членів даного ряду розбігається і виконуються обидві умови теореми Лейбніца, то даний знакочергуючий ряд збігається умовно.

.

, то даний знакозмінний ряд збігається абсолютно.

Приклад 3.  Дослідити збіжність ряду



           Р о з в ‘ я з о к.



(не виконується необхідна умова збіжності), тому даний ряд взагалі розбігається.

           Відмітимо в кінці даного розділу (без доведення) наступні властивості абсолютно збіжних і умовно збіжних рядів.

           Теорема 2 (теорема Діріхле). Якщо знакозмінний ряд  (13.20) збігається абсолютно, то буде збігатися і при тому абсолютно ряд, одержаний із даного довільною перестановкою його членів. При цьому сума ряду не залежить від порядку його членів.