Гіпербола, Детальна інформація

Гіпербола

Визначення 1. Геометричне місце точок, різниця відстаней від кожної з який до двох даних точок, які називаються фокусами, є постійною величиною, називається гіперболою.

- канонічне рівняння гіперболи.

Досліджуємо форму гіперболи.

1. Знайдемо точки перетинання з осями.

, A(a;0) , B(-a;0).

, INCLUDEPICTURE "http://www.refine.org.ua/\x6D69\x6761\x7365\x722F\x6665\x7265\x7461\x2F73\x3932\x3632\x692F\x616D\x6567\x3030\x2E35\x6967\x2266\x5C20\x202A\x454D\x4752\x4645\x524F\x414D\x4954\x454E\x2054\x0114\x2E15

Визначення 2. Точки A і B називаються вершинами гіперболи.

2. З виду рівняння випливає, що лінія симетрична щодо осей OX, OY і початку координат.

.

Отже, крива розташована поза прямокутником зі сторонами 2а і 2b.

Побудуємо дану криву.



Визначення 3. Параметр a називається дійсною піввіссю гіперболи, а параметр b називається мнимою піввіссю.

називаються асимптотами гіперболи.

При зростанні х гіпербола необмежено наближається до асимптот.

Визначення 5. Відношення фокусної відстані гіперболи до її дійсної осі називається ексцентриситетом.

.

гіпербола вироджується в дві рівнобіжні прямі.

Задачі з гіперболою

Задача 1. Знайти канонічне рівняння гіперболи.

проведемо перпендикуляр. Це буде вісь OY. У такий спосіб ми ввели систему координат і тепер кожна точка на площині має координати.



, тобто лежачу на гіперболі.

3 крок. Робимо необхідні геометричні побудови: з'єднуємо відрізками прямих точку М с фокусами.

(фокусна відстань) через 2с. По визначенню гіперболи різниця відстаней від точки М до фокусів є величина постійна незалежно від того, де на гіперболі знаходиться точка М. Позначимо цю відстань через 2а:





I

\x00D0