Елементи логіки, Детальна інформація

Другий спосіб одержання нових істинних висловлень полягає в застосуванні згаданих правил виведення до вже відомих істинних висловлень. При цьому формулюється система висловлень-тавтологій, що складає основу для виведення інших. Вони називаються аксіомами, а висловлення, що виводяться, – теоремами. Прикладом аксіоми може служити висловлення A((A, яке називається законом виключеного третього. Такий спосіб породження висловлень називається численням висловлень.

Підкреслимо ще раз, що в цьому розділі нашою метою є лише знайомство з основними поняттями і мовою позначень логіки, тому ми не торкаємося її суттєвих питань. Вони розкриваються у багатьох джерелах (див. список рекомендованої літератури).

5. Неформальне знайомство з кванторами

У математиці, як і у повсякденному житті, виникають твердження зі специфічною структурою. Ця структура робить можливими міркування, які не можна відтворити виведенням висловлень. Класичним прикладом таких міркувань є:

Кожна людина смертна.

Сократ – людина.

Звідси випливає, що Сократ смертний.

Очевидно, що висловлення "Сократ смертний" не є логічним висновком засновків "Кожна людина смертна" і "Сократ – людина". Проте коректність наведених міркувань ні в кого не викликає сумніву. Очевидно, що вона зумовлена якимсь особливим змістом слова "кожна".

Введемо додаткові позначення. Нехай x позначає деяку змінну, значення якої можуть мати деяку властивість P. Такі змінні називаються предметними. Висловлення "x має властивість P" позначимо P(x). Наприклад, висловлення "Ціле число x є парним" позначимо E(x). Значення такого висловлення залежить від значення цієї змінної. При x=1 висловлення E(x) хибне, при x=2 – істинне. Замість літери x можна записати її значення, наприклад, E(2).

Речення "Кожне значення x має властивість P", або "Всі значення x мають властивість P", або "Всі x мають властивість P", або "При всіх x справджується властивість P" позначимо записом (x P(x). У цьому записі частина (x називається квантором загальності. Слово "квантор" походить від слова "квантифікація", що означає "кількісне вираження". Продовжуючи приклад про парні числа, зауважимо, що твердження (x E(x) є хибним.

Речення "Існує значення x, що має властивість P", або "Деякі значення x мають властивість P", або "При деякому значенні x справджується властивість P", або "Деякі x мають властивість P" позначимо записом (x P(x). У цьому записі частина (x називається квантором існування. Очевидно, що у прикладі про парні числа твердження (x E(x) є істинним.

Очевидно, що

(x P(x) ( (x P(x),

причому твердження (x P(x) і (x P(x) нерівносильні.

Розглянемо деякі з можливих застосувань пропозиційних зв'язок до виразів із кванторами. Заперечення (((x P(x)) читається як "неістинно, що всі значення x мають властивість P", тобто як "існує значення x, що не має властивості P". Таке речення можна позначити як (x (P(x). Таким чином,

(((x P(x)) ( (x (P(x).

Аналогічно

(((x (P(x)) ( (x (P(x).

Висловлення (x P(x) ( (x Q(x) читається як "всі значення x мають властивість P і всі значення x мають властивість Q", тобто "всі значення x мають властивість P і властивість Q". Таким чином,

((x P(x))(((x Q(x)) ( (x (P(x)(Q(x)).

Висловлення (x P(x) ( (x Q(x) читається як "усі значення x мають властивість P або всі значення x мають властивість Q". З цього речення випливає, що "усі значення x мають властивість P або властивість Q", але ці два речення не рівносильні. Таким чином, (x(P(x)(Q(x)) є логічним висновком висловлення ((x P(x))(((x Q(x)), тобто

(((x P(x))(((x Q(x))) ( (x(P(x)(Q(x)),

але вони нерівносильні.

Приклад. Якщо P(x) позначає речення "x – парне число", а Q(x) – "x – непарне число", то висловлення (x(P(x)(Q(x)) є істинним, а ((x P(x))(((x Q(x)) – хибним.

Насамкінець, розглянемо речення з двома й більше кванторами. Вони з'являються, коли йдеться про властивості пар, трійок тощо змінних. Наприклад, речення "При будь-якому натуральному значенні x існує значення y, таке, що x є дільником y" можна записати як

(x ((y D(x, y)),

де D(x, y) позначає речення "x є дільником y".

Речення вигляду "При будь-якому значенні x справджується, що при будь-якому значенні y істинно A(x, y)" можна позначити так:

(x ((y A(x, y)).

Будемо опускати дужки, записуючи, наприклад, (x (y D(x, y) або (x (y A(x, y). Останній вираз можна прочитати також, як "При будь-якому значенні x і при будь-якому значенні y істинно A(x, y)".