Коефіцієнт кореляції та детермінації, Детальна інформація

 - сума квадратів помилок.

Справедливий такий вираз:

.

Поділивши цей вираз на п, отримаємо вираз для дисперсій:

,

де

 - загальна дисперсія ознаки у;

 - дисперсія, що пояснює регресію;

 - дисперсія помилок.

Таким чином ми здійснили декомпозицію дисперсії, тобто розклали загальну дисперсію на дві частини: дисперсію, що пояснює регресію, та дисперсію помилок (або дисперсію випадкової величини). Запишемо це у  такому вигляді:

.

 і отримаємо:



У цьому виразі перша частина – це частка дисперсії, що пояснюється регресією, а друга – частка помилок в загальній дисперсії.

Частина дисперсії, що пояснює регресію, називається коефіцієнтом детермінації і позначається r2. Коефіцієнт детермінації використовується як критерій адекватності моделі, бо є мірою пояснювальної сили незалежної змінної х.

Коефіцієнт детермінації визначається за формулою:



Коефіцієнт детермінації завжди позитивний і перебуває в межах від нуля до одиниці. Він показує, яка частка коливань результативної ознаки y зумовлена коливанням факторної ознаки х.

Звичайно, нас цікавить, чи є зв’язок між коефіцієнтом кореляції та коефіцієнтом детермінації, і якщо є , то який? Перш ніж відповісти на це питання, розглянемо зв’язок між коефіцієнтом кореляції та нахилом регресійної лінії, тобто параметром а1. Нагадаємо формули для розрахунків коефіцієнта кореляції та нахилу:

;

.

.і зробимо деякі перетворення

.

 додатні, випливає, що знак коефіцієнта кореляції завжди збігається із знаком параметра а1.

.

Знаючи зв’язок між коефіцієнтом кореляції і коефіцієнтом регресії, розглянемо зв’язок між коефіцієнтом кореляції і коефіцієнтом детермінації. Нагадаємо формулу для розрахунку коефіцієнта детермінації:



Виконаємо прості перетворення з виразом чисельника:

.

Внесемо зміни до виразу коефіцієнта детермінації, враховуючи останні перетворення: