Інтегрування раціональних функцій

Розглянемо конкретний приклад розкладу на прості дроби  правильного раціонального дробу



).

Отже , заданий дріб може бути поданий як



 - невідомі коефіцієнти , які треба обчислити, виходячи з того, що написана рівність є тотожністю. Її можна записати , звільнившись від знаменників:



, то одержимо систему дев’яти лінійних рівнянь із дев’ятьма невідомими відносно невідомих коефіцієнтів, які й знайдемо із вказаної системи рівнянь. У курсі алгебри доведено, що необхідна система рівнянь для визначення невідомих коефіцієнтів завжди має єдиний розв’язок .

 підставляти довільні числа.). В результаті одержимо шість невідомих коефіцієнтів. Отже, залишиться знайти ще три коефіцієнти .

.

            Після визначення всіх невідомих коефіцієнтів цієї системи рівнянь вже легко буде проінтегрувати заданий дріб, користуючись формулами простих раціональних дробів (п. 9.7.1).

 .

Приклад.  Обчислити інтеграл:



              Р о з в ‘ я з о к. Розкладемо знаменник на множники



Тоді розкладемо підінтегральний дріб на прості дроби:

=







Одержимо

   і





Виділення раціональної частини інтеграла.

Метод Остроградського

. При розкладі його на прості дроби одержимо таку суму простих дробів:

            (8.22)